Expected Shortfall: wzór i sprawdzenie historycznych VaR oraz ES

Expected Shortfall jest użyteczny, gdy można odtworzyć skład jego ogona. W tym poradniku zamieniamy proste stopy zwrotu na straty, porządkujemy obserwacje i pokazujemy dokładną wagę każdego uwzględnionego wiersza. Wynikiem jest odtwarzalny zapis obliczeń, a nie prognoza. Najpierw sprawdź stały przykład, a następnie zastąp go własnymi porównywalnymi obserwacjami.

Każda stopa zwrotu powinna dotyczyć jednego okresu o tej samej długości i wynikać z tej samej definicji. Nie łącz bez sprawdzenia danych dziennych z tygodniowymi, stóp zwrotu portfela z procentami pojedynczych transakcji ani wartości liczonych od różnych podstaw kapitału. Zapisz źródło, zakres dat, długość okresu, moment wyceny, koszty i sposób uwzględnienia zewnętrznych przepływów. Komponent otrzymuje liczby i sam tego nie weryfikuje.

Wartości wejściowe są już procentami: 3 oznacza 3%, −2 oznacza −2%, a 0 brak zmiany. To nie pole ułamkowej stopy zwrotu, w którym 0,03 oznacza 3%. Jeżeli źródło zapisuje stopy jako ułamki, przed wklejeniem pomnóż je przez 100 i udokumentuj przeliczenie. Brak obserwacji pozostaje brakiem danych; wymyślone zero zmienia zarówno liczebność próby, jak i ogon.

Każda obserwacja ma tu takie samo prawdopodobieństwo empiryczne 1/N. Nie ma większych wag dla nowszych danych, dopasowania rozkładu, korekty zmienności ani ekstrapolowanych zdarzeń. Zakres dat zachowaj osobno: sama liczba wierszy nie dowodzi reprezentatywności historii.

Przyjmij Lᵢ = −rᵢ, gdzie rᵢ to wprowadzona procentowa stopa zwrotu. Ze stopy −6% powstaje strata +6%, a ze stopy +3% strata −3%. Dodatnia strata oznacza spadek, ujemna — zysk. Znak pozostaje zachowany w tabeli, na wykresie i w plikach do pobrania.

N oznacza liczbę poprawnych obserwacji, a c poziom ufności zapisany jako ułamek. Wpisanie 85 w polu ufności oznacza c = 0,85. Uporządkuj straty rosnąco i wybierz k = ceil(N × c), licząc od 1. Tutaj VaR_c = L_(k). Reguła wybiera zaobserwowaną wartość bez interpolacji między sąsiednimi stratami. Funkcja ceil zaokrągla w górę do liczby całkowitej; liczba już całkowita pozostaje bez zmian.

Oficjalna dokumentacja kwantyli w R wyróżnia dziewięć algorytmów: type 1 jest odwrotnością dystrybuanty empirycznej, a ustawieniem domyślnym jest type 7. Ważna jest reguła pozycji, nie wspólna nazwa funkcji. Funkcja percentyla z interpolacją może więc dać inny VaR, ponieważ zastosowano inną konwencję.

VaR wskazuje położenie w dostarczonym rozkładzie strat, nie opisuje jednak wielkości wszystkich obserwacji za tą granicą. Nie jest też największą możliwą stratą. W punkcie skoku empiryczne prawdopodobieństwo strat nie większych od wybranej wartości nie musi równać się dokładnie c. Zachowaj poziom ufności, pozycję i wybraną obserwację razem z wynikiem.

Nie ma tu annualizacji. Dzienne stopy zwrotu opisują jednodniowy horyzont obserwacji, a miesięczne — miesięczny. Przejście między horyzontami wymaga dodatkowych danych i założeń, których ten kalkulator nie wprowadza.

Najgorszy ogon zajmuje masę empiryczną m = N × (1 − c), mierzoną w równoważnikach obserwacji. Posortuj straty malejąco, zachowując numery wierszy źródłowych. Nadaj wagę 1 każdej z floor(m) najgorszych obserwacji, a następnej — w razie potrzeby — pozostały ułamek. Dalej wagi wynoszą zero. Przy całkowitym m nie dodaje się kolejnej obserwacji granicznej. Funkcja floor zaokrągla w dół do liczby całkowitej.

Dla pozycji j w porządku malejącym waga nienormalizowana wynosi wⱼ = max(0, min(1, m − j + 1)). Expected Shortfall to ES_c = Σ(wⱼLⱼ)/m. Waga 1/2 oznacza wykorzystanie połowy empirycznej masy obserwacji, a nie zmniejszenie rzeczywistej historycznej straty o połowę. Waga znormalizowana to wⱼ/m, a wkład do ES — (wⱼ/m)Lⱼ.

Trzy równości pozwalają sprawdzić rachunek: wagi nienormalizowane sumują się do m, znormalizowane do 1, a wkłady wierszy do ES. Wagi nie mają jednostki walutowej ani procentowej. Straty i wkłady zachowują wprowadzoną skalę procentową; wkład wiersza jest składnikiem ES, nie kolejną zaobserwowaną stopą zwrotu. Wkłady są punktami procentowymi (p.p.) podanego ES: 20/3 p.p. i 2 p.p. z przykładu składają się na ES 26/3%.

Acerbi i Tasche wyjaśniają, dlaczego w rozkładach dyskretnych ważne jest dokładne traktowanie granicy. Tutaj uwzględniamy tylko masę potrzebną do wypełnienia ogona. Średnia warunkowa wszystkich wierszy z L ≥ VaR może objąć nadmiarową masę, w tym jednakowe straty graniczne, i różnić się od ES. Udział ogona α z artykułu odpowiada tutaj 1 − c.

Przy równych stratach pierwotna kolejność decyduje, który wiersz otrzyma ułamkową wagę. To umowny sposób przypisania, który nie zmienia ES, ponieważ wartości są równe. Przestawienie tych samych obserwacji może wyróżnić inny wiersz w grupie jednakowych strat, lecz nie zmieni VaR ani ES. Zachowaj identyfikatory, jeśli chcesz wyjaśnić przypisanie wag.

Weź fikcyjne jednookresowe stopy zwrotu: 3, 2, 1, 0, −1, −2, −3, −4, −6, −10 procent. To dane dydaktyczne, nie historia rynku. Ustaw ufność na 85. Wówczas N = 10, c = 0,85, pozycja kwantyla w porządku rosnącym wynosi ceil(8,5) = 9, a dziewiąta strata to 6%. Masa ogona wynosi 10 × 0,15 = 1,5 obserwacji.

Zaczynając od najgorszej straty, uwzględnij całą obserwację 10% i połowę obserwacji 6%. Ważona suma strat wynosi 1 × 10 + (1/2) × 6 = 13 w skali procentowej. Podziel przez masę 1,5: ES = 13/1,5 = 26/3% ≈ 8,666666666666667%. Wagi znormalizowane to 2/3 i 1/3, a ich wkłady 20/3 i 2 sumują się do 26/3.

Naiwny warunek L ≥ 6 obejmuje obie obserwacje w całości, dając (10 + 6)/2 = 8%. Wykorzystuje dwie obserwacje, chociaż zadana masa ogona wynosi 1,5. Rozbieżność wynika z definicji granicy, nie z błędu zaokrąglenia. Ten wynik diagnostyczny jest pokazany osobno i nie zastępuje ES.

Przy ufności 90% pozycja ceil(10 × 0,9) = 9 nadal wybiera VaR 6%, lecz masa ogona wynosi dokładnie 1, a ES 10%. Przy 95% wystarcza połowa najgorszej obserwacji; podzielenie ważonej straty przez tę połowę ponownie daje 10%. Mały historyczny ogon nie jest dowodem dużej precyzji jego oszacowania.

Opcjonalna stała wartość bazowa V = 10000 USD przelicza procentową stratę na kwotę według amount = V × lossPercent/100. VaR z przykładu to 600 USD, a ES 2600/3 USD ≈ 866,6666666666667 USD. Są to te same obserwacje procentowe odniesione do wybranej bazy, a nie salda, wymagany depozyt zabezpieczający, gwarantowane limity ani dodatkowe straty do dodania do procentów.

Wklej jedną liczbę ze znakiem w każdym wierszu. Kropka lub przecinek mogą oddzielać część dziesiętną liczby; żaden z nich nie oddziela obserwacji. Nie wklejaj nagłówka, znaku procentu, zapisu wykładniczego, separatorów tysięcy ani listy rozdzielonej przecinkami. Zewnętrzne spacje są usuwane; dopuszczony jest jeden końcowy znak nowego wiersza. Pusty wiersz wewnątrz danych lub dodatkowa pusta linia na końcu wywołuje błąd. Przy liczbach ujemnych używaj znaku minus - z klawiatury.

Dopuszczalne jest 1–1000 stóp zwrotu od −1000000 do +1000000 procent, z maksymalnie sześcioma miejscami dziesiętnymi. Pierwotny wiersz może zawierać do 64 znaków, cały szereg do 65000. Ufność musi być ściśle między 0 a 100 procent, z maksymalnie sześcioma miejscami dziesiętnymi i 32 znakami wejścia. Są to limity wielkości danych, nie potwierdzenie ekonomicznego sensu każdej stopy.

Wartości poniżej −100% nie są obcinane. Wymagają odpowiedniej podstawy kapitału lub ekspozycji: sprawdź, co rzeczywiście zmierzyło źródło. Opcjonalna wartość bazowa przyjmuje dodatnią kwotę do 1000000000000000, z sześcioma miejscami dziesiętnymi i do 48 znaków wejścia. Pozostaw ją pustą, aby otrzymać tylko procenty. Etykieta jednostki ma 1–24 znaki, zaczyna się literą lub cyfrą, a dalej dopuszcza litery, cyfry, znaki łączące, spacje, kropkę, podkreślenie, ukośnik i łącznik.

Wybierz przykład lub wpisz własne dane, ustaw ufność i wybierz „Oblicz i sprawdź”. Przed interpretacją VaR i ES sprawdź N, pozycję kwantyla oraz masę ogona. Przejrzyj wykres uporządkowanych strat i pełną tabelę. Wybór wiersza pokazuje jego szczegóły bez zastępowania obliczonego zestawu. Zmiana danych modelu natychmiast ukrywa stary wynik i jego plik do czasu ponownego obliczenia.

Dokładne ułamki wyznaczają granicę i wynik. Zaokrąglone rozwinięcia dziesiętne są oznaczone jako przybliżenia i nie trafiają ponownie do modelu. Dynamiczny CSV odpowiada ostatniemu poprawnemu obliczeniu. Dane pozostają w pamięci komponentu: formularz nie wysyła ich na serwer i nie zapisuje trwale. Nie jest to stwierdzenie dotyczące odrębnej analityki całej witryny.

Bez JavaScript nadal dostępne są stały przykład, pełna tabela, wejściowy CSV, dokładny CSV wzorcowy oraz protokół weryfikacji. Elementy interaktywne są wyłączone. Wejściowy CSV jest statycznym plikiem dydaktycznym, nie obietnicą zaimplementowanego importera CSV.

Zacznij od dziesięciu wierszy przykładu, zanim zmienisz zakres. Umieść liczby procentowe w B2:B11, a numery źródłowe w A2:A11. Zachowaj format liczbowy: wpisanie 3 i późniejsze zastosowanie formatu procentowego pokaże 300%, czyli inną skalę. W C2 wpisz =-B2 i skopiuj w dół, uzyskując straty. Sprawdź, czy wszystkie dziesięć komórek zawiera liczby i żadnej nie brakuje.

Wpisz 85 w K2. Formuła =ROWS(B2:B11) w K3 daje N, a =K3*(1-K2/100) w K4 daje m. W K5 formuła =SMALL(C2:C11,ROUNDUP(K3*K2/100,0)) realizuje przyjętą tutaj konwencję VaR. Nie zastępuj jej interpolowanym percentylem, oczekując tej samej definicji. W przykładzie K3 = 10, K4 = 1,5, K5 = 6.

W D2 wpisz =LARGE($C$2:$C$11,ROWS(D$2:D2)) i skopiuj do D11, aby uporządkować straty malejąco. W E2 formuła =MAX(0,MIN(1,$K$4-ROWS(D$2:D2)+1)) daje wagę nienormalizowaną; skopiuj ją w dół. W F2 użyj =E2/$K$4 dla wagi znormalizowanej, a w G2 =F2*D2 dla wkładu do ES. Skopiuj obie formuły do końca zakresu. Aby sprawdzić poszczególne wiersze, posortuj razem kopię strat i pierwotnych identyfikatorów: strata malejąco, następnie numer źródłowy rosnąco. Kolumna LARGE sprawdza tylko uporządkowane wartości i nie zachowuje tożsamości wierszy o jednakowej stracie.

Kontrole to =SUM(E2:E11), dająca 1,5; =SUM(F2:F11), dająca 1; i =SUM(G2:G11), dająca liczbowo 26/3. Ostatnią sumę umieść w K6. Dla porównania =AVERAGEIF(C2:C11,">="&K5,C2:C11) daje średnią warunkową 8. Przy stałej bazie 10000 formuły =10000*K5/100 i =10000*K6/100 dają kwoty.

Formuły używają angielskich nazw funkcji i przecinków między argumentami. Twój arkusz może wymagać przetłumaczonych nazw, średników lub przecinków dziesiętnych. Przy dostosowaniu składni zachowaj znaczenie komórek. Kolumny CSV z ułamkami i dokładnymi wartościami importuj jako tekst, aby uniknąć zamiany na daty lub zaokrągleń. Arytmetyka dziesiętna arkusza również jest przybliżeniem: przy wrażliwej granicy najpierw porównaj dokładną pozycję i masę z pobranego pliku.

Gdy m < 1, ułamek pojedynczej najgorszej obserwacji wypełnia cały ogon, więc ES równa się tej zaobserwowanej stracie. Więcej cyfr po przecinku nie dodaje informacji historycznej. Przy N = 1 VaR i ES są równe jedynej stracie dla każdego dozwolonego poziomu ufności. Rachunek jest określony, ale jedna obserwacja nie opisuje szerokiego zbioru poważnych zdarzeń.

Jeżeli wszystkie obserwacje są zyskami, straty są ujemne; VaR lub ES również mogą pozostać ujemne. Dla stóp zwrotu 1, 2 i 3 procent najgorszą zaobserwowaną stratą jest −1%. Przy ufności 90% VaR = ES = −1%. Zastąpienie tego wyniku zerem zmieniłoby wymagany rachunek empiryczny. Ujemny znak nie dowodzi niemożliwości przyszłych strat.

Historyczny ogon nie zawiera zdarzeń nieobecnych w próbie. Zmiana reżimu, nieaktualne wyceny, luki, zmiany kosztów i niespójne ekspozycje mogą sprawić, że pozornie precyzyjny wynik nie odpowiada na właściwe pytanie. Dłuższy szereg zmienia próbę, ale sam nie zapewnia porównywalności ani tego, że następna strata zmieści się w jej zakresie.

Narzędzie nie szacuje przedziałów niepewności, nie dowodzi niezależności, nie weryfikuje modelu probabilistycznego i nie stosuje regulacyjnych zasad kapitałowych. Nie zmienia też dziennych stóp zwrotu w miarę ryzyka dla wielu dni. Zapisz te ograniczenia zamiast przypisywać wynikowi nieuzasadnioną interpretację.

Sama nazwa CVaR nie wystarcza do uzgodnienia dwóch raportów. Zapytaj o definicję, regułę kwantyla, traktowanie mas punktowych i remisów, wagi oraz próbę. Różne implementacje mogą używać tej samej nazwy przy innych konwencjach. Tutaj dokładna masa najgorszego ogona i naiwna średnia warunkowa są pokazane oddzielnie, aby różnicę można było sprawdzić.

Zapisz pierwotną kolejność, ufność, horyzont, daty źródła, definicję stopy zwrotu i ewentualną wartość bazową. Wyeksportuj obliczony CSV razem z protokołem. Wyraźnie oznacz niewiadome: na przykład uwzględnienie finansowania lub powód pominięcia daty. Nieznane założenie nie powinno zamienić się w uspokajający wniosek.

• Najpierw porównaj N i każdą stopę zwrotu, łącznie ze znakiem oraz skalą procentową.
• Następnie porównaj pozycję kwantyla, ufność i pełną masę ogona, zanim przejdziesz do zaokrąglonych wyników.
• Sprawdź, czy drugi rachunek uwzględnia wszystkie równe wartości graniczne lub interpoluje kwantyl.
• Na końcu porównaj koszty, horyzont, wagi i bazę pieniężną; zgodnych liczb można oczekiwać tylko przy zgodnych definicjach.

Ten poradnik odpowiada na inne pytanie niż wskaźniki Sharpe’a i Sortino: odnoszą one średnią stopę zwrotu ponad odpowiedni poziom odniesienia — Rf dla Sharpe’a i MAR dla Sortino — do określonej zmienności lub odchyleń poniżej celu. Historyczny ES nie jest maksymalnym obsunięciem kapitału: sortowanie usuwa chronologiczny przebieg. Nie jest też oceną ryzyka ruiny, która wymaga osobnego modelu sekwencji wyników i warunku ruiny.

Użyteczny punkt zakończenia to możliwa do prześledzenia zgodność lub nazwana niewyjaśniona różnica. Jeśli wiersze, konwencja i dokładne wagi się zgadzają, ponowne liczenie tych samych danych nie dodaje dowodów. W przeciwnym razie najpierw wyodrębnij konkretną rozbieżność. Żaden wynik nie zaleca transakcji, zabezpieczenia, dźwigni ani wielkości pozycji.

Czy Expected Shortfall jest średnią stratą powyżej VaR?

W skończonej próbie nie zawsze. Tutaj uśredniamy dokładnie najgorszą masę N × (1 − c), dopuszczając ułamkowy wiersz graniczny. Wszystkie wiersze ze stratą ≥ VaR mogą obejmować większą masę: w przykładzie dla 85% dają 8%, podczas gdy ES wynosi 26/3%.

Dlaczego przy 90% VaR wynosi 6%, a ES 10%?

Dla dziesięciu obserwacji wybieramy pozycję 9 w porządku rosnącym, gdzie strata wynosi 6%. Masa ogona to dokładnie jedna obserwacja, dlatego ES wykorzystuje tylko najgorszą stratę 10%. Obie miary opisują różne właściwości tej samej próby.

Czy VaR lub ES mogą być ujemne?

Tak. Zyski stają się ujemnymi stratami, a ogon zawierający zyski może zachować ujemny znak. Kalkulator nie ogranicza tych wartości do zera. Taki historyczny wynik nie gwarantuje braku straty w następnym okresie.

Co dzieje się przy jednej obserwacji lub masie ogona poniżej jedności?

Najgorsza zaobserwowana strata wyznacza ES; przy N = 1 wyznacza również VaR. Poprawny wynik arytmetyczny nie oznacza wystarczających danych do oceny rzadkich zdarzeń. Mała masa ogona jest pokazana wprost.

Czy trzeba wprowadzić stałą wartość bazową?

Procentowe VaR i ES nie wymagają wartości bazowej. Pozostaw opcjonalne pole puste, a nie powstaną kwoty. Formularz nadal wymaga etykiety jednostki, ale opisuje ona kwoty tylko po podaniu wartości. Dodatnia wartość skaluje straty na tej stałej bazie, nie przelicza walut i nie określa salda rachunku.

Czy jest to regulacyjny kalkulator Expected Shortfall?

Nie. To historyczny rachunek jednookresowy z jednakowymi wagami oraz jawnymi regułami empirycznego kwantyla i ułamkowej granicy. Nie zawiera regulacyjnych korekt horyzontu płynności, zasad kapitałowych, kalibracji scenariuszy ani modelu prognostycznego.