Expected Shortfall berechnen: historischer VaR und ES

Ein Expected Shortfall ist dann nachvollziehbar, wenn sich die Zusammensetzung seines Verlustschwanzes rekonstruieren lässt. Hier werden einfache Renditen in Verluste umgewandelt, sortiert und mit dem genauen Gewicht jeder berücksichtigten Zeile ausgewiesen. Das Ergebnis ist ein reproduzierbares Rechenprotokoll, keine Prognose. Prüfen Sie zunächst das feste Beispiel und ersetzen Sie es anschließend durch vergleichbare eigene Beobachtungen.

Jede Rendite muss eine gleich lange Periode und dieselbe Renditedefinition betreffen. Mischen Sie nicht ungeprüft Tages- und Wochenwerte, Portfoliorenditen und Prozentsätze einzelner Geschäfte oder Renditen mit unterschiedlichen Kapitalbasen. Halten Sie Quelle, Datumsbereich, Periodenlänge, Bewertungszeitpunkt, Kosten und Behandlung externer Zahlungsströme fest. Der Rechner erhält nur Zahlen und kann diese Eigenschaften nicht selbst verifizieren.

Die Eingabe erfolgt bereits in Prozent: 3 bedeutet 3 %, −2 bedeutet −2 % und 0 bedeutet keine Wertänderung. Es ist kein Feld für Dezimalrenditen, in dem 0,03 für 3 % steht. Speichert Ihre Quelle Dezimalrenditen, multiplizieren Sie diese vor dem Einfügen mit 100 und dokumentieren Sie die Umrechnung. Fehlende Beobachtungen bleiben fehlende Informationen; eine erfundene Null verändert Stichprobengröße und Verlustschwanz.

Alle Beobachtungen besitzen hier dieselbe empirische Wahrscheinlichkeit 1/N. Es gibt keine höhere Gewichtung aktueller Werte, keine angepasste Verteilung, Volatilitätskorrektur oder ergänzten Ereignisse. Den Datumsbereich müssen Sie separat aufbewahren: Die Anzahl der Zeilen allein belegt keine repräsentative Historie.

Setzen Sie Lᵢ = −rᵢ, wobei rᵢ die eingegebene prozentuale Rendite bezeichnet. Aus −6 % Rendite werden +6 % Verlust; aus +3 % Rendite werden −3 % Verlust. Ein positiver Verlust steht für einen Rückgang, ein negativer für einen Gewinn. Dieses Vorzeichen bleibt in Tabelle, Diagramm und Downloads erhalten.

N ist die Zahl gültiger Beobachtungen und c das Konfidenzniveau als Anteil. Die Eingabe 85 im Konfidenzfeld bedeutet c = 0,85. Sortieren Sie die Verluste aufsteigend und wählen Sie k = ceil(N × c), beginnend mit Rang 1. Hier gilt VaR_c = L_(k). Diese Regel wählt einen beobachteten Wert ohne Interpolation zwischen benachbarten Verlusten. Dabei rundet ceil auf eine ganze Zahl auf; eine bereits ganze Zahl bleibt unverändert.

Die offizielle R-Dokumentation zu Quantilen unterscheidet neun Verfahren: Typ 1 ist die inverse empirische Verteilungsfunktion, voreingestellt ist Typ 7. Entscheidend ist die Rangregel, nicht ein gleicher Funktionsname. Eine interpolierende Perzentilfunktion in einer Tabellenkalkulation kann deshalb einen anderen VaR liefern, weil eine andere Konvention verwendet wurde.

Der VaR bezeichnet eine Stelle in der vorliegenden Verlustverteilung, nicht die Höhe sämtlicher Beobachtungen jenseits dieser Stelle. Er ist auch kein maximal möglicher Verlust. An einer Sprungstelle muss die empirische Wahrscheinlichkeit für Werte bis zum ausgewählten Verlust nicht genau c entsprechen. Bewahren Sie Konfidenz, Rang und ausgewählte Beobachtung zusammen mit dem Ergebnis auf.

Eine Annualisierung findet nicht statt. Tagesrenditen beschreiben den eintägigen Beobachtungshorizont, Monatsrenditen ihren monatlichen Horizont. Eine Umrechnung zwischen Horizonten benötigt zusätzliche Daten und Annahmen außerhalb dieses Rechners.

Der schlechteste Verteilungsbereich umfasst die empirische Masse m = N × (1 − c), gemessen in Beobachtungsäquivalenten. Sortieren Sie Verluste absteigend und behalten Sie die ursprünglichen Zeilennummern. Die floor(m) schlechtesten Beobachtungen erhalten jeweils Gewicht 1; die folgende erhält gegebenenfalls den verbleibenden Bruchteil. Danach sind alle Gewichte null. Bei ganzzahligem m gibt es keine zusätzliche Randbeobachtung. Die Funktion floor rundet auf eine ganze Zahl ab.

Für den absteigenden Rang j lautet das unnormierte Gewicht wⱼ = max(0, min(1, m − j + 1)). Der Expected Shortfall ist ES_c = Σ(wⱼLⱼ)/m. Das Gewicht 1/2 bedeutet, dass die Hälfte der empirischen Masse einer Beobachtung eingeht. Der tatsächlich beobachtete Verlust wird dadurch nicht nachträglich halbiert. Das normierte Gewicht ist wⱼ/m und der ES-Beitrag (wⱼ/m)Lⱼ.

Drei Kontrollen machen die Berechnung prüfbar: Die unnormierten Gewichte summieren sich zu m, die normierten zu 1 und die Zeilenbeiträge zum ES. Gewichte haben weder eine Währungs- noch eine Prozenteinheit. Verluste und Beiträge behalten die eingegebene Prozentskala; ein Beitrag ist ein Summand des ES, keine weitere beobachtete Rendite. Beiträge werden in Prozentpunkten (pp) des ausgewiesenen ES angegeben: 20/3 pp und 2 pp ergeben im Beispiel zusammen einen ES von 26/3 %.

Acerbi und Tasche erläutern die Bedeutung einer sorgfältigen Randbehandlung bei diskreten Verteilungen. Hier geht nur die Masse ein, die zum Auffüllen des Verlustschwanzes nötig ist. Der bedingte Mittelwert aller Zeilen mit L ≥ VaR kann zu viel Masse einschließlich gleicher Randverluste einbeziehen und vom ES abweichen. Das Symbol α für den Randanteil im Aufsatz entspricht hier 1 − c.

Bei gleichen Verlusten bestimmt die ursprüngliche Zeilenreihenfolge, welche Beobachtung einen Bruchteil des Gewichts erhält. Diese Zuordnung verändert den ES nicht, weil die Werte gleich sind. Eine Umordnung derselben Beobachtungen kann eine andere Zeile innerhalb einer Gleichstandsgruppe markieren, aber weder VaR noch ES verändern. Bewahren Sie Zeilenkennungen für die Prüfung der Zuordnung auf.

Verwenden Sie diese erfundenen Einperiodenrenditen: 3, 2, 1, 0, −1, −2, −3, −4, −6, −10 Prozent. Dies sind Lehrdaten, keine Markthistorie. Setzen Sie die Konfidenz auf 85. Dann sind N = 10, c = 0,85 und der aufsteigende Quantilsrang ceil(8,5) = 9. Der neunte Verlust beträgt 6 %. Die Randmasse ist 10 × 0,15 = 1,5 Beobachtungen.

Beginnend beim höchsten Verlust wird die 10-%-Beobachtung vollständig und die 6-%-Beobachtung zur Hälfte berücksichtigt. Die gewichtete Verlustsumme ist 1 × 10 + (1/2) × 6 = 13 auf der Prozentskala. Geteilt durch die Masse 1,5 ergibt das ES = 13/1,5 = 26/3 % ≈ 8,666666666666667 %. Die normierten Gewichte sind 2/3 und 1/3; ihre Beiträge 20/3 und 2 summieren sich zu 26/3.

Die naive Bedingung L ≥ 6 erfasst beide Beobachtungen vollständig und liefert (10 + 6)/2 = 8 %. Sie verwendet zwei Beobachtungen, obwohl die vorgegebene Randmasse 1,5 beträgt. Die Abweichung entsteht durch die Randdefinition, nicht durch Rundung. Dieser Vergleichswert wird separat ausgewiesen und ersetzt den ES nicht.

Bei 90 % wählt ceil(10 × 0,9) = 9 weiterhin den VaR von 6 %, während die Randmasse genau 1 beträgt und der ES 10 %. Bei 95 % genügt die Hälfte der schlechtesten Beobachtung. Division des gewichteten Verlusts durch diese Hälfte ergibt erneut 10 %. Eine so kleine historische Randmasse bedeutet nicht, dass ihr Wert besonders präzise geschätzt wurde.

Ein optionaler fester Basiswert V = 10000 USD übersetzt den prozentualen Verlust über amount = V × lossPercent/100 in einen Betrag. Im Beispiel beträgt der VaR 600 USD und der ES 2600/3 USD ≈ 866,6666666666667 USD. Das sind dieselben Prozentbeobachtungen auf einer gewählten Basis, keine Kontostände, Marginanforderungen, garantierten Grenzen oder zusätzlichen Verluste, die zu den Prozentwerten addiert werden.

Fügen Sie eine vorzeichenbehaftete Zahl je Zeile ein. Als Dezimaltrennzeichen innerhalb eines Werts ist ein Punkt oder Komma erlaubt; keines davon trennt Beobachtungen. Verwenden Sie keine Überschrift, Prozentzeichen, Exponentialschreibweise, Tausendertrennzeichen oder kommagetrennte Liste. Äußere Leerzeichen werden entfernt, ein abschließender Zeilenumbruch ist zulässig. Eine leere Zwischenzeile oder zusätzliche Leerzeile am Ende wird abgewiesen. Verwenden Sie für negative Eingaben das Minuszeichen - der Tastatur.

Zulässig sind 1–1000 Renditen zwischen −1000000 und +1000000 Prozent mit höchstens sechs Nachkommastellen. Eine ursprüngliche Zeile darf höchstens 64 Zeichen, die gesamte Reihe höchstens 65000 Zeichen enthalten. Die Konfidenz muss strikt zwischen 0 und 100 Prozent liegen, mit höchstens sechs Nachkommastellen und 32 Eingabezeichen. Diese Grenzen beschränken die Eingabegröße, nicht die wirtschaftliche Bedeutung einer Rendite.

Werte unter −100 % werden nicht abgeschnitten. Dafür muss eine passende Kapital- oder Exposure-Basis vorliegen; prüfen Sie die tatsächliche Definition Ihrer Quelle. Der optionale Basiswert erlaubt positive Beträge bis 1000000000000000 mit sechs Nachkommastellen und höchstens 48 Eingabezeichen. Leer bedeutet ausschließlich prozentuale Ergebnisse. Die Einheitenbezeichnung hat 1–24 Zeichen, beginnt mit Buchstabe oder Ziffer und erlaubt danach Buchstaben, Ziffern, kombinierende Zeichen, Leerzeichen, Punkt, Unterstrich, Schrägstrich und Bindestrich.

Wählen Sie ein Beispiel oder tragen Sie eigene Werte ein, setzen Sie die Konfidenz und wählen Sie „Berechnen und prüfen“. Prüfen Sie N, Quantilsrang und Randmasse vor VaR und ES. Nutzen Sie das Diagramm der geordneten Verluste und die vollständige Tabelle. Die Zeilenauswahl zeigt Details, ohne den berechneten Datensatz zu ersetzen. Jede Änderung einer Modelleingabe blendet das alte Ergebnis und dessen Download bis zur Neuberechnung aus.

Exakte Brüche bestimmen Grenze und Ergebnis. Gerundete Dezimaldarstellungen sind als Näherungen gekennzeichnet und fließen nicht zurück in die Berechnung. Die dynamische CSV gehört zur letzten erfolgreichen Berechnung. Eingaben bleiben im Arbeitsspeicher der Komponente; das Formular sendet sie nicht an einen Server und speichert sie nicht dauerhaft. Diese Aussage umfasst nicht die separate Website-Analyse.

Ohne JavaScript bleiben das feste Beispiel, die vollständige Tabelle sowie Eingabe-CSV, exakte Referenz-CSV und Prüfprotokoll verfügbar. Interaktive Steuerelemente sind deaktiviert. Die Eingabe-CSV ist eine statische Lehrdatei, keine Zusage eines vorhandenen CSV-Imports.

Beginnen Sie mit den zehn Beispielzeilen, bevor Sie andere Bereiche einsetzen. Schreiben Sie die Prozentzahlen nach B2:B11 und die Originalzeilen nach A2:A11. Behalten Sie das Zahlenformat bei: Die Eingabe 3 mit anschließendem Prozentformat würde 300 % anzeigen und damit eine andere Skala. Schreiben Sie =-B2 nach C2 und kopieren Sie die Formel nach unten. Prüfen Sie, dass alle zehn vorgesehenen Zellen numerisch und vollständig sind.

Tragen Sie 85 in K2 ein. =ROWS(B2:B11) in K3 liefert N, =K3*(1-K2/100) in K4 die Masse m. In K5 setzt =SMALL(C2:C11,ROUNDUP(K3*K2/100,0)) die hier gewählte VaR-Regel um. Ersetzen Sie diese nicht durch ein interpolierendes Perzentil und erwarten Sie dieselbe Definition. Im Beispiel sind K3 = 10, K4 = 1,5 und K5 = 6.

Geben Sie in D2 =LARGE($C$2:$C$11,ROWS(D$2:D2)) ein und kopieren Sie bis D11. So stehen die Verluste absteigend. In E2 berechnet =MAX(0,MIN(1,$K$4-ROWS(D$2:D2)+1)) das unnormierte Randgewicht; kopieren Sie nach unten. F2 enthält =E2/$K$4 für das normierte Gewicht und G2 =F2*D2 für den ES-Beitrag. Kopieren Sie beide Formeln ebenfalls nach unten. Für eine Prüfung einzelner Zeilen sortieren Sie eine Kopie von Verlusten und Originalkennungen gemeinsam: Verlust absteigend, danach Originalzeile aufsteigend. Die LARGE-Spalte prüft nur die geordneten Werte und bewahrt bei gleichen Verlusten keine Zuordnung zu den Originalzeilen.

Die Kontrollen lauten =SUM(E2:E11) mit Ergebnis 1,5, =SUM(F2:F11) mit Ergebnis 1 und =SUM(G2:G11) mit dem Zahlenwert 26/3. Schreiben Sie die letzte Summe nach K6. Zum Vergleich liefert =AVERAGEIF(C2:C11,">="&K5,C2:C11) den bedingten Mittelwert 8. Bei Basiswert 10000 ergeben =10000*K5/100 und =10000*K6/100 die Geldbeträge.

Die Formeln verwenden englische Funktionsnamen und Kommas zwischen Argumenten. Ihre Tabellenkalkulation kann übersetzte Namen, Semikolons oder Dezimalkommas verlangen. Die Bedeutung der Zellbezüge muss bei dieser Anpassung gleich bleiben. Importieren Sie CSV-Spalten mit Brüchen und exakten Werten als Text, damit Brüche nicht zu Datumswerten und lange Zahlen nicht gerundet werden. Die Dezimalarithmetik der Tabelle ist selbst eine Näherung; vergleichen Sie an empfindlichen Grenzen zuerst den exakten Rang und die Masse des Downloads.

Bei m < 1 füllt nur ein Bruchteil der schlechtesten Beobachtung den Randbereich, sodass der ES ihrem beobachteten Verlust entspricht. Mehr Nachkommastellen liefern keine zusätzliche historische Information. Bei N = 1 entsprechen VaR und ES für jedes zulässige Konfidenzniveau dem einzigen Verlust. Die Rechnung ist definiert, aber eine Beobachtung beschreibt keine breite Auswahl schwerer Ereignisse.

Sind alle Beobachtungen Gewinne, werden die Verluste negativ; auch VaR und ES können negativ bleiben. Für Renditen von 1, 2 und 3 Prozent ist der schlechteste beobachtete Verlust −1 %. Bei 90 % Konfidenz gilt VaR = ES = −1 %. Eine Begrenzung auf null würde die verlangte empirische Rechnung verändern. Das negative Vorzeichen schließt künftige Verluste nicht aus.

Ein historischer Verlustschwanz kann keine Ereignisse enthalten, die in der Stichprobe fehlen. Regimewechsel, veraltete Bewertungen, Datenlücken, Kostenänderungen und uneinheitliche Exposures können ein scheinbar präzises Ergebnis unpassend machen. Eine längere Reihe verändert die Stichprobe, löst aber nicht automatisch die Vergleichbarkeitsfrage und garantiert nicht, dass der nächste Verlust in ihrem Wertebereich liegt.

Dieser Rechner schätzt keine Unsicherheitsintervalle, beweist keine Unabhängigkeit, validiert kein Wahrscheinlichkeitsmodell und wendet keine regulatorischen Kapitalregeln an. Er macht aus Tagesrenditen auch keine Risikozahl für mehrere Tage. Dokumentieren Sie diese Grenzen, statt dem Ergebnis eine unbelegte Bedeutung zu geben.

Eine Bezeichnung wie CVaR genügt nicht für den Abgleich zweier Berichte. Fragen Sie nach Definition, Quantilsregel, Behandlung diskreter Wahrscheinlichkeitsmassen und Gleichstände, Gewichtung und Stichprobe. Unterschiedliche Implementierungen können denselben Namen bei anderen Konventionen verwenden. Hier werden die genaue schlechteste Randmasse und der naive bedingte Mittelwert getrennt sichtbar.

Speichern Sie Originalreihenfolge, Konfidenz, Renditehorizont, Quelldaten, Renditedefinition und optionalen Basiswert. Exportieren Sie die berechnete CSV zusammen mit dem Prüfprotokoll. Halten Sie offene Punkte ausdrücklich fest, etwa enthaltene Finanzierungskosten oder den Grund für ein fehlendes Datum. Eine unbekannte Annahme darf nicht zu einem beruhigenden Ergebnis umgedeutet werden.

• Vergleichen Sie zuerst N und jede eingegebene Rendite einschließlich Vorzeichen und Prozentskala.
• Vergleichen Sie anschließend Quantilsrang, Konfidenz und vollständige Randmasse, bevor Sie gerundete Ergebnisse betrachten.
• Prüfen Sie, ob die andere Rechnung alle gleichen Randwerte einschließt oder ein Quantil interpoliert.
• Gleichen Sie zuletzt Kosten, Horizont, Gewichte und Geldbasis ab; übereinstimmende Definitionen sind die Voraussetzung für übereinstimmende Zahlen.

Dieser Leitfaden beantwortet eine andere Frage als Sharpe und Sortino. Diese setzen die durchschnittliche Rendite oberhalb ihres jeweiligen Bezugswerts — Rf bei Sharpe und MAR bei Sortino — zu definierter Streuung oder Unterschreitung einer Schwelle ins Verhältnis. Historischer ES ist kein maximaler Drawdown: Die Sortierung entfernt den zeitlichen Verlauf. Ebenso ist er keine Ruinwahrscheinlichkeit, die ein eigenes Modell der Ergebnisfolge und eine Ruinbedingung benötigt.

Der sinnvolle Abschluss ist eine nachvollziehbare Übereinstimmung oder eine konkret benannte offene Abweichung. Stimmen Zeilen, Konvention und exakte Gewichte überein, liefert eine erneute Berechnung unveränderter Eingaben keine neue Evidenz. Andernfalls isolieren Sie zuerst den konkreten Unterschied. Kein Ergebnis empfiehlt ein Geschäft, einen Hedge, einen Hebel oder eine Positionsgröße.

Ist Expected Shortfall der durchschnittliche Verlust oberhalb des VaR?

Bei einer endlichen Stichprobe nicht automatisch. Hier wird genau die schlechteste Masse N × (1 − c) gemittelt, einschließlich eines möglichen Bruchteils am Rand. Alle Zeilen mit Verlust ≥ VaR können mehr Masse umfassen: Im 85-%-Beispiel liefern sie 8 %, während der ES 26/3 % beträgt.

Warum ergeben 90 % Konfidenz einen VaR von 6 % und ES von 10 %?

Bei zehn Beobachtungen wird der aufsteigende Rang 9 ausgewählt; dort steht der Verlust 6 %. Die Randmasse ist genau eine Beobachtung, daher verwendet der ES nur den schlechtesten Verlust von 10 %. Beide Kennzahlen beschreiben unterschiedliche Eigenschaften derselben Stichprobe.

Können VaR oder ES negativ sein?

Ja. Gewinne werden zu negativen Verlusten, und ein Randbereich mit Gewinnen kann negativ bleiben. Der Rechner setzt solche Werte nicht auf null. Dieses historische Vorzeichen garantiert nicht, dass die nächste Periode keinen Verlust bringt.

Was passiert bei einer Beobachtung oder einer Randmasse unter eins?

Der schlechteste beobachtete Verlust bestimmt den ES. Bei N = 1 bestimmt er auch den VaR. Eine gültige Rechnung bedeutet nicht, dass genug Beobachtungen für seltene Ereignisse vorliegen; die kleine Randmasse wird ausdrücklich angezeigt.

Muss ich einen festen Basiswert eingeben?

Für prozentualen VaR und ES ist kein Basiswert nötig. Bleibt das optionale Feld leer, entstehen keine Geldbeträge. Das Formular verlangt weiterhin eine Einheitenbezeichnung; sie beschriftet jedoch nur bei angegebenem Basiswert einen Betrag. Ein positiver Wert skaliert Verluste auf dieser festen Basis, rechnet keine Währungen um und bestimmt keinen Kontostand.

Bildet dies einen regulatorischen Expected-Shortfall-Ansatz nach?

Nein. Es ist eine gleich gewichtete historische Einperiodenrechnung mit offengelegter empirischer Quantilsregel und Bruchteilsgrenze. Regulatorische Liquiditätshorizonte, Kapitalregeln, Szenariokalibrierung und Prognosemodelle sind nicht enthalten.