Expected Shortfall: fórmula y cálculo del VaR y ES históricos

Un Expected Shortfall resulta útil cuando puedes reconstruir qué observaciones entraron en su cola. Esta guía convierte una serie de rentabilidades simples en pérdidas, las ordena y muestra el peso exacto de cada fila incluida. El resultado es un registro reproducible del cálculo, no una previsión. Empieza por el ejemplo fijo y después sustitúyelo por observaciones propias que sean comparables.

Cada rentabilidad debe corresponder a un período de la misma duración y a una misma definición. No mezcles datos diarios y semanales, rentabilidades de cartera y porcentajes de operaciones individuales, ni porcentajes sobre bases de capital distintas sin comprobar su comparabilidad. Anota fuente, intervalo de fechas, duración, momento de valoración, costes y tratamiento de los flujos externos. El componente recibe números y no puede verificar esas características por ti.

El dato se introduce ya en porcentaje: 3 significa 3 %, −2 significa −2 % y 0 significa que no hubo cambio. No es un campo de rentabilidad decimal donde 0,03 equivalga a 3 %. Si tu fuente almacena rentabilidades decimales, multiplícalas por 100 antes de pegarlas y documenta la conversión. Una observación ausente sigue siendo información ausente: inventar un cero cambia tanto el tamaño de la muestra como su cola.

Todas las observaciones tienen aquí la misma probabilidad empírica 1/N. No hay ponderación por antigüedad, ajuste de una distribución, corrección de volatilidad ni acontecimientos extrapolados. Conserva por separado el intervalo de fechas: el número de filas no demuestra que la historia sea representativa.

Define Lᵢ = −rᵢ, donde rᵢ es la rentabilidad porcentual introducida. Una rentabilidad de −6 % pasa a ser una pérdida de +6 %; una rentabilidad de +3 %, una pérdida de −3 %. La pérdida positiva representa una caída y la negativa una ganancia. El signo se mantiene en tabla, gráfico y descargas.

N es el número de observaciones válidas y c el nivel de confianza como fracción. Introducir 85 en el campo de confianza significa c = 0,85. Ordena las pérdidas de menor a mayor y elige k = ceil(N × c), empezando por 1. Esta guía define VaR_c = L_(k). La regla selecciona un valor observado, sin interpolar entre pérdidas adyacentes. Aquí ceil redondea hacia arriba al entero correspondiente y deja intacto un valor ya entero.

La documentación oficial de cuantiles de R distingue nueve algoritmos: type 1 es la inversa de la distribución empírica y el valor predeterminado es type 7. Importa la regla del rango, no compartir el nombre de una función. Una función de percentil con interpolación puede devolver otro VaR porque se ha aplicado una convención diferente.

El VaR señala una posición dentro de la distribución de pérdidas suministrada; no describe la magnitud de todas las observaciones más allá de ese punto. Tampoco es la máxima pérdida posible. En una discontinuidad, la probabilidad empírica de pérdidas no superiores al valor elegido no tiene por qué coincidir exactamente con c. Conserva la confianza, el rango y la observación seleccionada junto con el resultado.

No se anualiza ningún dato. Las rentabilidades diarias describen el horizonte observado de un día; las mensuales, el mensual. Pasar de un horizonte a otro exige información y supuestos adicionales que este comprobador no introduce.

La peor cola ocupa una masa empírica m = N × (1 − c), medida en equivalentes de observaciones. Ordena las pérdidas de mayor a menor conservando el número de fila original. Asigna peso 1 a las floor(m) peores observaciones y, si hace falta, la fracción restante a la siguiente. Las demás reciben peso cero. Si m es entero, no se añade otra observación límite. La función floor redondea hacia abajo a un entero.

Para el rango descendente j, el peso sin normalizar es wⱼ = max(0, min(1, m − j + 1)). El Expected Shortfall es ES_c = Σ(wⱼLⱼ)/m. Un peso 1/2 indica que se utiliza la mitad de la masa empírica de una observación; no que la pérdida histórica realmente sufrida se reduzca a la mitad. El peso normalizado es wⱼ/m y su contribución al ES, (wⱼ/m)Lⱼ.

Tres igualdades permiten auditar el cálculo: los pesos sin normalizar suman m; los normalizados, 1; y las contribuciones de las filas, el ES. Los pesos no tienen unidad monetaria ni porcentual. Pérdidas y contribuciones conservan la escala porcentual introducida; una contribución es un sumando del ES, no otra rentabilidad observada. Las contribuciones se expresan en puntos porcentuales (pp) del ES: los 20/3 pp y 2 pp del ejemplo forman un ES de 26/3 %.

Acerbi y Tasche explican por qué las distribuciones discretas requieren tratar con cuidado el límite. Aquí se incluye solo la masa necesaria para completar la cola. La media condicional de todas las filas con L ≥ VaR puede incorporar masa sobrante, incluidos empates en el límite, y diferir del ES. La fracción de cola α del artículo corresponde aquí a 1 − c.

Cuando las pérdidas coinciden, el orden original decide qué fila recibe el peso fraccionario. Esta elección contable no modifica el ES, porque los valores empatados son iguales. Reordenar las mismas observaciones puede cambiar la fila resaltada dentro de un empate, pero no el VaR ni el ES. Conserva identificadores si necesitas justificar la asignación.

Utiliza estas rentabilidades ficticias de un período: 3, 2, 1, 0, −1, −2, −3, −4, −6, −10 por ciento. Son datos didácticos, no historia de mercado. Fija la confianza en 85. Así, N = 10, c = 0,85, el rango ascendente del cuantil es ceil(8,5) = 9 y la novena pérdida es 6 %. La masa de la cola es 10 × 0,15 = 1,5 observaciones.

Desde la peor pérdida, toma toda la observación de 10 % y la mitad de la de 6 %. La suma ponderada es 1 × 10 + (1/2) × 6 = 13 en la escala porcentual. Divídela entre la masa 1,5: ES = 13/1,5 = 26/3 % ≈ 8,666666666666667 %. Los pesos normalizados son 2/3 y 1/3; sus contribuciones, 20/3 y 2, suman 26/3.

La condición ingenua L ≥ 6 incluye completas ambas observaciones y da (10 + 6)/2 = 8 %. Utiliza dos observaciones cuando la cola definida tiene masa 1,5. La diferencia corresponde a la definición del límite, no a un error de redondeo. Este diagnóstico se muestra aparte y no sustituye al ES.

Con confianza del 90 %, ceil(10 × 0,9) = 9 sigue seleccionando un VaR de 6 %, pero la masa es exactamente 1 y el ES, 10 %. Al 95 % basta media observación de la peor pérdida; dividir su pérdida ponderada entre esa mitad vuelve a dar 10 %. Es una cola histórica pequeña, no una prueba de que su valor esté estimado con gran precisión.

Un valor base fijo opcional V = 10000 USD convierte la pérdida porcentual en importe mediante amount = V × lossPercent/100. El VaR del ejemplo es 600 USD y el ES, 2600/3 USD ≈ 866,6666666666667 USD. Son las mismas observaciones porcentuales expresadas sobre una base elegida; no son saldos, requisitos de margen, límites garantizados ni pérdidas adicionales que sumar a los porcentajes.

Pega un número con signo por línea. Puedes utilizar punto o coma como separador decimal dentro de un valor; ninguno separa observaciones. No pegues encabezados, símbolos de porcentaje, notación exponencial, separadores de miles ni listas separadas por comas. Se eliminan los espacios exteriores y se permite un salto de línea final; una línea vacía interna o una línea en blanco adicional al final produce un error. Para números negativos, utiliza el signo menos - del teclado.

Se admiten 1–1000 rentabilidades entre −1000000 y +1000000 por ciento, con un máximo de seis decimales. Cada línea original puede ocupar hasta 64 caracteres y la serie completa hasta 65000. La confianza debe estar estrictamente entre 0 y 100 por ciento, con seis decimales como máximo y 32 caracteres de entrada. Son límites de tamaño, no una certificación de la validez económica de cada rentabilidad.

Los valores inferiores a −100 % no se recortan. Necesitan una base de capital o exposición adecuada: comprueba qué mide la fuente. El valor base opcional admite importes positivos hasta 1000000000000000, con seis decimales y 48 caracteres como máximo. Déjalo vacío para obtener solo porcentajes. La etiqueta de unidad contiene 1–24 caracteres, empieza por letra o dígito y permite después letras, dígitos, marcas combinantes, espacios, punto, guion bajo, barra o guion.

Elige un ejemplo o introduce tus datos, fija la confianza y pulsa «Calcular y revisar». Comprueba N, rango del cuantil y masa de cola antes de interpretar VaR y ES. Revisa el gráfico de pérdidas ordenadas y la tabla completa; seleccionar una fila permite inspeccionarla sin sustituir los datos calculados. Modificar una entrada del modelo oculta inmediatamente el resultado anterior y su descarga hasta el siguiente cálculo.

Las fracciones exactas determinan el límite y el resultado. Los decimales redondeados se identifican como aproximaciones y no vuelven a alimentar el cálculo. El CSV dinámico corresponde al último cálculo correcto. Las entradas permanecen en la memoria del componente: el formulario no las envía a un servidor ni las guarda de forma persistente. Esta afirmación no describe la analítica independiente del sitio.

Sin JavaScript siguen disponibles el ejemplo fijo, su tabla completa, el CSV de entrada, el CSV exacto de referencia y el protocolo de comprobación. Los controles interactivos están desactivados. El CSV de entrada es un archivo didáctico estático, no la promesa de un importador CSV implementado.

Empieza por las diez filas del ejemplo antes de sustituir el rango. Coloca los números porcentuales en B2:B11 y los números de fila originales en A2:A11. Conserva el formato numérico: introducir 3 y aplicar después formato de porcentaje mostraría 300 %, otra escala. Escribe =-B2 en C2 y copia hacia abajo para obtener las pérdidas. Comprueba que las diez celdas previstas sean numéricas y no falte ninguna.

Escribe 85 en K2. =ROWS(B2:B11) en K3 proporciona N y =K3*(1-K2/100) en K4 proporciona m. En K5, =SMALL(C2:C11,ROUNDUP(K3*K2/100,0)) implementa la convención VaR de esta guía. No la sustituyas por un percentil interpolado esperando la misma definición. En el ejemplo, K3 = 10, K4 = 1,5 y K5 = 6.

Introduce =LARGE($C$2:$C$11,ROWS(D$2:D2)) en D2 y copia hasta D11 para ordenar las pérdidas de mayor a menor. En E2 escribe =MAX(0,MIN(1,$K$4-ROWS(D$2:D2)+1)) y copia hacia abajo para los pesos sin normalizar. En F2 usa =E2/$K$4 para el peso normalizado y en G2, =F2*D2 para la contribución al ES. Copia ambas fórmulas hacia abajo. Para auditar las filas, ordena juntos una copia de las pérdidas y sus identificadores originales: pérdida descendente y después número original ascendente. La columna LARGE comprueba solo los valores ordenados y no conserva la identidad de las filas empatadas.

Las comprobaciones son =SUM(E2:E11), que da 1,5; =SUM(F2:F11), que da 1; y =SUM(G2:G11), que da numéricamente 26/3. Coloca la última suma en K6. Como contraste, =AVERAGEIF(C2:C11,">="&K5,C2:C11) devuelve la media condicional 8. Para una base fija de 10000, =10000*K5/100 y =10000*K6/100 dan los importes.

Las fórmulas utilizan nombres de funciones en inglés y comas entre argumentos. Tu programa puede requerir nombres traducidos, punto y coma o coma decimal. Mantén el significado de las celdas al adaptar la sintaxis. Importa como texto las columnas CSV de fracciones y valores exactos, para que no se conviertan en fechas ni se redondeen. La aritmética decimal de la hoja es otra aproximación: ante un límite sensible, compara primero el rango y la masa exactos de la descarga.

Cuando m < 1, una fracción de la peor observación basta para completar la cola; por eso el ES coincide con esa pérdida observada. Añadir decimales no aporta información histórica. Si N = 1, VaR y ES son la única pérdida para cualquier confianza permitida. El cálculo está definido, pero una observación no representa una variedad amplia de desenlaces graves.

Si todas las observaciones son ganancias, las pérdidas son negativas y el VaR o el ES también pueden serlo. Para rentabilidades de 1, 2 y 3 por ciento, la peor pérdida observada es −1 %. Con confianza del 90 %, VaR = ES = −1 %. Sustituir ese resultado por cero alteraría el cálculo empírico solicitado. El signo negativo no demuestra que las pérdidas futuras sean imposibles.

Una cola histórica no contiene acontecimientos ausentes de la muestra. Cambios de régimen, valoraciones desactualizadas, lagunas, cambios de costes y exposiciones inconsistentes pueden volver poco pertinente un resultado aparentemente preciso. Una serie más larga cambia la muestra, pero no garantiza comparabilidad ni que la siguiente pérdida quede dentro de su rango.

Esta herramienta no estima intervalos de incertidumbre, ni demuestra independencia, ni valida un modelo probabilístico, ni aplica reglas de capital regulatorio. Tampoco convierte rentabilidades diarias en una cifra de riesgo de varios días. Documenta esas limitaciones en lugar de atribuir al resultado una interpretación no respaldada.

Una etiqueta como CVaR no basta para conciliar dos informes. Solicita definición, regla del cuantil, tratamiento de masas puntuales y empates, pesos y muestra. Distintas implementaciones pueden utilizar el mismo nombre con convenciones diferentes. Aquí la masa exacta de la peor cola y la media condicional ingenua se muestran por separado para poder inspeccionar la diferencia.

Guarda la secuencia original, confianza, horizonte, fechas de la fuente, definición de rentabilidad y cualquier valor base opcional. Exporta el CSV calculado junto con el protocolo. Anota explícitamente lo que falta: por ejemplo, si una rentabilidad incluye financiación o por qué se excluyó una fecha. Un supuesto desconocido no debe transformarse en una conclusión tranquilizadora.

• Compara primero N y cada rentabilidad introducida, incluidos signo y escala porcentual.
• Después compara rango del cuantil, confianza y masa completa de la cola antes de revisar valores redondeados.
• Comprueba si el otro resultado incluye todos los empates del límite o interpola un cuantil.
• Por último, compara costes, horizonte, pesos y base monetaria; solo con definiciones coincidentes cabe esperar números coincidentes.

Esta guía responde a una pregunta distinta de Sharpe y Sortino, que relacionan la rentabilidad media por encima de sus respectivas referencias —Rf para Sharpe y MAR para Sortino— con una variabilidad o desviación por debajo de un objetivo. El ES histórico no es el drawdown máximo: ordenar los datos elimina su recorrido temporal. Tampoco es una estimación del riesgo de ruina, que exige otro modelo de secuencias y una condición de ruina.

El punto de cierre útil es una coincidencia trazable o una diferencia pendiente identificada. Si filas, convención y pesos exactos coinciden, recalcular entradas idénticas no añade evidencia. Si difieren, aísla esa diferencia concreta antes de ampliar el ejercicio. Ningún resultado recomienda una operación, cobertura, apalancamiento o tamaño de posición.

¿Es Expected Shortfall la pérdida media por encima del VaR?

No necesariamente en una muestra finita. Aquí se promedia exactamente la peor masa N × (1 − c), permitiendo una fila límite fraccionaria. Todas las filas con pérdida ≥ VaR pueden abarcar más masa: en el ejemplo al 85 % dan 8 %, frente a un ES de 26/3 %.

¿Por qué al 90 % el VaR es 6 % y el ES 10 %?

Con diez observaciones se selecciona el rango ascendente 9, donde la pérdida es 6 %. La masa de cola es exactamente una observación y el ES utiliza solo la peor pérdida, de 10 %. Describen propiedades distintas de la misma muestra.

¿Pueden ser negativos el VaR o el ES?

Sí. Las ganancias se convierten en pérdidas negativas y una cola con ganancias puede conservar ese signo. El cálculo no la limita a cero. Este signo histórico no garantiza que el próximo período no pueda perder dinero.

¿Qué sucede con una observación o una masa de cola menor que uno?

La peor pérdida observada determina el ES; con N = 1 también determina el VaR. Un resultado aritmético válido no significa que haya datos suficientes para evaluar sucesos raros. La pequeña masa de cola se muestra expresamente.

¿Tengo que introducir un valor base fijo?

Los VaR y ES porcentuales no necesitan valor base. Déjalo vacío y no se producirán importes. El formulario sigue exigiendo una etiqueta de unidad, pero solo identifica cantidades cuando se aporta un valor. Un valor positivo escala las pérdidas sobre esa base fija; no convierte monedas ni determina un saldo de cuenta.

¿Reproduce un cálculo regulatorio de Expected Shortfall?

No. Es un cálculo histórico de un período, con pesos iguales y convenciones declaradas de cuantil empírico y límite fraccionario. No incorpora ajustes regulatorios por horizonte de liquidez, reglas de capital, calibración de escenarios ni modelos de previsión.