Expected Shortfall: как проверить исторические VaR и ES

Число Expected Shortfall полезно, когда можно восстановить состав его хвоста. Здесь мы берём ряд простых доходностей, меняем их знак, сортируем потери и показываем точный вес каждой включённой строки. Результат — воспроизводимая запись расчёта, а не прогноз. Сначала можно сверить фиксированный пример, затем заменить его сопоставимыми собственными наблюдениями.

Каждая доходность должна относиться к одному периоду одинаковой длительности и рассчитываться по одному определению. Не смешивайте дневные и недельные строки, доходность портфеля и проценты отдельных сделок, а также проценты от разных баз капитала, не установив их сопоставимость. Запишите источник, диапазон дат, горизонт, время оценки, комиссии и порядок учёта внешних денежных потоков. Компонент принимает числа и сам эти свойства не проверяет.

Ввод уже выражен в процентах: 3 означает 3%, −2 означает −2%, а 0 — отсутствие изменения. Это не поле десятичной доходности, в котором 0,03 означает 3%. Если источник хранит десятичные доходности, перед вставкой умножьте их на 100 и запишите преобразование. Пропущенное наблюдение остаётся пробелом в данных: выдуманный ноль изменит и размер выборки, и её хвост.

У всех наблюдений здесь одинаковая эмпирическая вероятность 1/N. Нет повышенного веса свежих данных, подбора распределения, поправки на волатильность или добавленных сценариев. Диапазон дат нужно сохранить отдельно: одно количество строк не доказывает репрезентативность истории.

Обозначим Lᵢ = −rᵢ, где rᵢ — введённая процентная доходность. Доходность −6% превращается в потерю +6%, а доходность +3% — в потерю −3%. Положительная потеря означает снижение, отрицательная — прибыль. Этот знак сохраняется в таблице, на графике и в выгрузках.

N — число допустимых наблюдений, c — доверительный уровень в долях единицы. Ввод 85 в поле уровня означает c = 0,85. Расположите потери по возрастанию и выберите k = ceil(N × c), считая строки с 1. Здесь VaR_c = L_(k). Правило выбирает наблюдаемое значение без интерполяции между соседними потерями. Здесь ceil означает округление вверх до целого; уже целое число не меняется.

Официальная документация R по квантилям различает девять алгоритмов: type 1 — обратная функция эмпирического распределения, а по умолчанию используется type 7. Для сверки важно правило ранга, а не совпадение названий функций. Функция процентиля с интерполяцией может дать другой VaR, потому что использует другое определение.

VaR задаёт положение в переданном распределении потерь, но не описывает величину всех наблюдений за этой границей. Это также не максимально возможный убыток. В точке скачка эмпирическая вероятность значений не выше выбранной потери не обязана в точности равняться c. Сохраняйте рядом с результатом уровень, ранг и выбранное наблюдение.

Пересчёта на год здесь нет. Дневные доходности дают характеристику однодневного горизонта наблюдений, месячные — месячного. Для перехода между горизонтами нужны дополнительные данные и предпосылки, которых этот калькулятор не вводит.

Худший хвост занимает эмпирическую массу m = N × (1 − c), измеряемую в эквивалентах наблюдений. Отсортируйте потери от большей к меньшей, сохранив исходные номера строк. Каждому из floor(m) худших наблюдений присвойте вес 1, а следующему при необходимости — оставшуюся долю. Все последующие веса равны нулю. При целом m дополнительной граничной строки нет. Функция floor округляет вниз до целого.

Для места j в убывающем порядке ненормированный вес равен wⱼ = max(0, min(1, m − j + 1)). Expected Shortfall рассчитывается как ES_c = Σ(wⱼLⱼ)/m. Вес 1/2 означает использование половины эмпирической массы наблюдения, а не уменьшение фактической исторической потери вдвое. Нормированный вес — wⱼ/m, вклад в ES — (wⱼ/m)Lⱼ.

Расчёт проверяется тремя равенствами: сумма ненормированных весов равна m, сумма нормированных весов — 1, сумма вкладов строк — ES. Веса не имеют денежных или процентных единиц. Потери и вклады выражены в исходной процентной шкале; вклад строки — слагаемое ES, а не ещё одна наблюдаемая доходность. Вклады выражены в процентных пунктах (п.п.) показателя ES: 20/3 п.п. и 2 п.п. в примере вместе дают ES 26/3%.

Ачерби и Таше объясняют, почему в дискретных распределениях важна обработка границы. В нашем эмпирическом расчёте включается только масса, необходимая для заполнения хвоста. Условное среднее всех строк с L ≥ VaR может захватывать лишнюю массу, в том числе одинаковые граничные потери, и отличаться от ES. Доля хвоста α в обозначениях статьи соответствует здесь 1 − c.

При равных потерях дробный вес распределяется по исходному порядку строк. Это условность учёта, не меняющая ES: равные значения дают одинаковый результат. Перестановка наблюдений может изменить выделенную строку среди совпадающих потерь, но не VaR или ES. Сохраняйте идентификаторы строк, если нужно объяснить распределение веса.

Возьмём вымышленные однопериодные доходности: 3, 2, 1, 0, −1, −2, −3, −4, −6, −10 процентов. Это учебные данные, а не рыночная история. Установите уровень 85. Тогда N = 10, c = 0,85, ранг квантиля по возрастанию — ceil(8,5) = 9, а девятая потеря — 6%. Масса хвоста равна 10 × 0,15 = 1,5 наблюдения.

Начиная с худшей потери, возьмём наблюдение 10% полностью и наблюдение 6% наполовину. Взвешенная сумма потерь — 1 × 10 + (1/2) × 6 = 13 в процентной шкале. Делим на массу 1,5: ES = 13/1,5 = 26/3% ≈ 8,666666666666667%. Нормированные веса равны 2/3 и 1/3; их вклады — 20/3 и 2, вместе 26/3.

Наивное условие L ≥ 6 включает оба наблюдения полностью, поэтому среднее равно (10 + 6)/2 = 8%. Оно использует две строки при заданной массе хвоста 1,5. Разница вызвана определением границы, а не округлением. Этот диагностический показатель выводится отдельно и не заменяет ES.

При уровне 90% ранг ceil(10 × 0,9) = 9 всё ещё выбирает VaR 6%, но масса хвоста теперь ровно 1, а ES — 10%. При 95% требуется только половина худшего наблюдения; деление взвешенной потери на эту половину снова даёт 10%. Это малая историческая масса хвоста, а не свидетельство высокой точности её оценки.

Необязательная фиксированная стоимость V = 10000 USD переводит процентную потерю в сумму: amount = V × lossPercent/100. В примере VaR равен 600 USD, ES — 2600/3 USD ≈ 866,6666666666667 USD. Суммы описывают те же процентные наблюдения на выбранной базе: это не баланс счёта, маржа, гарантированный лимит и не дополнительные потери, которые нужно прибавить к процентам.

Вставьте по одному числу со знаком на строку. Внутри числа допустима точка или запятая как десятичный разделитель; ни одна из них не разделяет наблюдения. Не вставляйте заголовок, знак процента, экспоненциальную запись, разделитель тысяч или список через запятые. Пробелы по краям удаляются, один конечный перевод строки разрешён; внутренняя пустая строка или лишняя пустая строка в конце вызывает ошибку. Для отрицательного ввода используйте клавиатурный знак минуса -.

Допустимы 1–1000 доходностей от −1000000 до +1000000 процентов, до шести знаков после разделителя. Исходная строка ограничена 64 символами, весь ряд — 65000. Доверительный уровень должен быть строго между 0 и 100 процентами, не более шести десятичных знаков и 32 исходных символов. Это ограничения размера ввода, а не подтверждение экономической корректности доходности.

Значения ниже −100% не обрезаются. Для такой строки нужна соответствующая база капитала или экспозиции: проверьте смысл показателя у источника. Необязательная стоимость принимает положительную сумму до 1000000000000000, до шести десятичных знаков и 48 исходных символов. Оставьте её пустой для результатов только в процентах. Метка единицы содержит 1–24 символа, начинается буквой или цифрой; далее допустимы буквы, цифры, комбинируемые знаки, пробел, точка, подчёркивание, косая черта и дефис.

Выберите пример или введите свои данные, задайте уровень и нажмите «Рассчитать и проверить». До чтения VaR и ES проверьте N, ранг квантиля и массу хвоста. Изучите график упорядоченных потерь и полную таблицу; выбор строки открывает её подробности без замены рассчитанного набора. Изменение модельного ввода сразу скрывает прежний результат и его выгрузку до нового расчёта.

Граница и результат определяются точными дробями. Округлённое десятичное отображение отмечено как приближённое и обратно в модель не подставляется. Динамический CSV относится к последнему успешному расчёту. Форма хранит ввод только в памяти компонента, не отправляет его на сервер и не записывает в постоянное хранилище; это не утверждение об отдельной аналитике всего сайта.

Без JavaScript доступны фиксированный пример, полная таблица, CSV исходных данных, точный CSV примера и протокол проверки. Интерактивные элементы отключены. CSV исходных данных — статический учебный файл, а не обещание реализованного импорта CSV.

Начните с десяти строк примера, затем меняйте диапазон. Поместите процентные числа в B2:B11, исходные номера — в A2:A11. Оставьте числовой формат: ввод 3 с последующим применением процентного формата даст 300%, то есть другую шкалу. В C2 введите =-B2 и скопируйте вниз, получив потери. Проверьте, что все десять нужных ячеек числовые и ни одна не пропущена.

В K2 поместите 85. Формула =ROWS(B2:B11) в K3 задаёт N, а =K3*(1-K2/100) в K4 — m. В K5 формула =SMALL(C2:C11,ROUNDUP(K3*K2/100,0)) реализует выбранное здесь правило VaR. Не заменяйте её интерполирующим процентилем, ожидая того же определения. В примере K3 = 10, K4 = 1,5, K5 = 6.

В D2 введите =LARGE($C$2:$C$11,ROWS(D$2:D2)) и скопируйте до D11: потери будут расположены по убыванию. Для ненормированных весов в E2 введите =MAX(0,MIN(1,$K$4-ROWS(D$2:D2)+1)) и скопируйте вниз. В F2 задайте =E2/$K$4 для нормированного веса, в G2 — =F2*D2 для вклада в ES. Обе формулы протяните вниз. Для построчной сверки отсортируйте копию пар «потеря — исходный номер» по убыванию потери, затем по возрастанию номера. Столбец LARGE проверяет только упорядоченные значения и не сохраняет идентичность исходных строк с равными потерями.

Проверки: =SUM(E2:E11) даёт 1,5, =SUM(F2:F11) даёт 1, а =SUM(G2:G11) — численное значение 26/3. Последнюю сумму поместите в K6. Для сравнения =AVERAGEIF(C2:C11,">="&K5,C2:C11) даёт условное среднее 8. При фиксированной стоимости 10000 формулы =10000*K5/100 и =10000*K6/100 дают денежные показатели.

Формулы записаны с английскими именами функций и запятыми между аргументами. В вашей программе могут понадобиться переведённые имена, точки с запятой или десятичные запятые. При изменении синтаксиса сохраняйте смысл ячеек. Столбцы дробей и точных значений CSV импортируйте как текст, чтобы программа не превратила дробь в дату и не округлила длинное число. Десятичная арифметика таблицы сама является приближением; возле чувствительной границы сначала сравните точные ранг и массу из выгрузки.

Если m < 1, хвост заполняет лишь доля единственного худшего наблюдения, поэтому ES равен этой наблюдаемой потере. Дополнительные десятичные знаки не добавляют исторической информации. При N = 1 и VaR, и ES равны единственной потере для любого допустимого уровня. Расчёт определён, но выборка содержит одно наблюдение, а не широкий набор тяжёлых исходов.

Если все наблюдения прибыльны, потери отрицательны и VaR или ES тоже могут быть отрицательными. Для доходностей 1, 2 и 3 процента худшая наблюдаемая потеря — −1%. При уровне 90% VaR = ES = −1%. Замена этого результата нулём изменила бы эмпирический расчёт. Отрицательный знак не означает, что будущие потери невозможны.

Исторический хвост не содержит событий, которых нет в переданной выборке. Смена режима, устаревшие оценки, пропуски, изменение расходов и несогласованные экспозиции могут сделать внешне точное число плохо подходящим к вопросу. Удлинение ряда меняет выборку, но само по себе не решает проблему сопоставимости и не гарантирует, что следующая потеря окажется внутри её диапазона.

Инструмент не оценивает интервалы неопределённости, не доказывает независимость наблюдений, не проверяет вероятностную модель и не применяет регуляторные правила капитала. Он также не превращает дневные доходности в показатель многодневного риска. Фиксируйте эти ограничения, вместо того чтобы приписывать результату неподтверждённый смысл.

Для сверки двух отчётов недостаточно названия CVaR. Уточните определение, правило квантиля, обработку точечных масс и совпадений, веса и выборку. Разные реализации могут использовать одно название при разных соглашениях. Здесь точная масса худшего хвоста и отдельное наивное условное среднее позволяют увидеть различие.

Сохраните исходный порядок ввода, уровень, горизонт доходностей, даты источника, определение доходности и необязательную базовую стоимость. Выгрузите рассчитанный CSV вместе с протоколом. Неизвестное укажите прямо: например, включает ли источник расходы финансирования или почему отсутствует дата. Неизвестная предпосылка не должна превращаться в успокаивающий вывод.

• Сначала сравните N и каждую введённую доходность, включая знак и процентный масштаб.
• Затем сравните ранг квантиля, уровень и полную массу хвоста, прежде чем сопоставлять округлённые результаты.
• Проверьте, включает ли другой расчёт все совпадающие граничные строки или интерполирует квантиль.
• Наконец, сравните расходы, горизонт, веса и денежную базу: совпадения чисел можно ожидать только при совпадающих определениях.

Этот материал отвечает на другой вопрос, чем коэффициенты Шарпа и Сортино: они соотносят среднюю доходность сверх соответствующего ориентира — Rf для Шарпа и MAR для Сортино — с заданной изменчивостью или отклонением ниже порога. Исторический ES — не максимальная просадка: сортировка убирает хронологический путь. Это также не оценка риска разорения, для которой нужна отдельная модель последовательности исходов и условия разорения.

Полезная точка остановки — прослеживаемое совпадение либо названная нерешённая разница. Если строки, соглашение и точные веса совпадают, повторный расчёт неизменённого ввода не добавляет доказательств. Если не совпадают, сначала изолируйте конкретную причину. Результат не рекомендует сделку, хедж, кредитное плечо или размер позиции.

Expected Shortfall — это средняя потеря выше VaR?

В конечной выборке это не обязательно так. Здесь усредняется ровно худшая масса N × (1 − c), включая дробную граничную строку. Среднее всех строк с потерей ≥ VaR может захватить больше массы: при уровне 85% в примере оно равно 8%, а ES — 26/3%.

Почему при 90% VaR равен 6%, а ES — 10%?

Для десяти наблюдений выбран ранг 9 в возрастающем порядке, где потеря равна 6%. Масса хвоста — ровно одно наблюдение, поэтому ES использует только худшую потерю 10%. Показатели описывают разные свойства одной выборки.

Могут ли VaR и ES быть отрицательными?

Да. Прибыль становится отрицательной потерей, поэтому хвост с прибыльными наблюдениями может сохранять отрицательное значение. Калькулятор не обрезает его до нуля. Такой исторический знак не гарантирует отсутствия убытка в следующем периоде.

Что происходит при одном наблюдении или массе хвоста меньше единицы?

ES определяется худшей наблюдаемой потерей. При N = 1 она определяет и VaR. Корректная арифметика не означает достаточность истории для оценки редких событий: малая масса хвоста показана явно.

Нужно ли вводить фиксированную базовую стоимость?

Для процентных VaR и ES базовая стоимость не нужна. Оставьте необязательное поле пустым — денежных результатов не будет. Форма всё равно требует метку единицы, но она подписывает суммы только при заданной стоимости. Положительная сумма масштабирует потери на фиксированную базу, не конвертирует валюты и не определяет баланс счёта.

Воспроизводит ли инструмент регуляторный расчёт Expected Shortfall?

Нет. Это равновзвешенный исторический расчёт за один период с явно заданными правилами эмпирического квантиля и дробного хвоста. В нём нет регуляторных поправок на горизонт ликвидности, правил капитала, калибровки сценариев или прогнозной модели.