Expected Shortfall: перевірте історичні VaR та ES

Показник Expected Shortfall корисний тоді, коли можна відтворити склад його хвоста. Тут ми беремо ряд простих дохідностей, змінюємо їхній знак, сортуємо втрати та показуємо точну вагу кожного включеного рядка. Результат — відтворюваний запис розрахунку, а не прогноз. Спочатку можна звірити фіксований приклад, а потім замінити його зіставними власними спостереженнями.

Кожна дохідність має стосуватися одного періоду однакової тривалості й обчислюватися за одним визначенням. Не змішуйте денні й тижневі рядки, дохідність портфеля та відсотки окремих угод, а також відсотки від різних баз капіталу, не встановивши їхню зіставність. Запишіть джерело, діапазон дат, горизонт, час оцінювання, комісії та порядок обліку зовнішніх грошових потоків. Компонент приймає числа й сам цих властивостей не перевіряє.

Ввід уже виражено у відсотках: 3 означає 3%, −2 означає −2%, а 0 — відсутність зміни. Це не поле десяткової дохідності, у якому 0,03 означає 3%. Якщо джерело зберігає десяткові дохідності, перед вставленням помножте їх на 100 і запишіть перетворення. Пропущене спостереження залишається прогалиною: вигаданий нуль змінить і розмір вибірки, і її хвіст.

Усі спостереження тут мають однакову емпіричну ймовірність 1/N. Немає підвищеної ваги свіжих даних, підбору розподілу, поправки на волатильність чи доданих сценаріїв. Діапазон дат потрібно зберегти окремо: сама кількість рядків не доводить репрезентативності історії.

Позначимо Lᵢ = −rᵢ, де rᵢ — введена відсоткова дохідність. Дохідність −6% перетворюється на втрату +6%, а дохідність +3% — на втрату −3%. Додатна втрата означає зниження, від’ємна — прибуток. Цей знак зберігається в таблиці, на графіку та у вивантаженнях.

N — кількість допустимих спостережень, c — довірчий рівень у частках одиниці. Ввід 85 у полі рівня означає c = 0,85. Розташуйте втрати за зростанням і виберіть k = ceil(N × c), рахуючи з 1. Тут VaR_c = L_(k). Правило вибирає спостережуване значення без інтерполяції між сусідніми втратами. Тут ceil означає округлення вгору до цілого; уже ціле число не змінюється.

Офіційна документація R щодо квантилів розрізняє дев’ять алгоритмів: type 1 — обернена функція емпіричного розподілу, а типовим є type 7. Для звірки важливе правило рангу, а не спільна назва функції. Функція процентиля з інтерполяцією може дати інший VaR, бо використовує інше визначення.

VaR задає положення в наданому розподілі втрат, але не описує величини всіх спостережень за цією межею. Це також не максимально можлива втрата. У точці стрибка емпірична ймовірність значень не вище вибраної втрати не обов’язково точно дорівнює c. Зберігайте разом із результатом рівень, ранг і вибране спостереження.

Перерахунку на рік тут немає. Денні дохідності дають характеристику одноденного горизонту спостережень, місячні — місячного. Для переходу між горизонтами потрібні додаткові дані й припущення, яких цей калькулятор не вводить.

Найгірший хвіст займає емпіричну масу m = N × (1 − c), виміряну в еквівалентах спостережень. Відсортуйте втрати від більшої до меншої, зберігши початкові номери рядків. Кожному з floor(m) найгірших спостережень надайте вагу 1, а наступному за потреби — залишкову частку. Подальші ваги дорівнюють нулю. За цілого m додаткового граничного рядка немає. Функція floor округлює вниз до цілого.

Для місця j у спадному порядку ненормована вага дорівнює wⱼ = max(0, min(1, m − j + 1)). Expected Shortfall обчислюється як ES_c = Σ(wⱼLⱼ)/m. Вага 1/2 означає використання половини емпіричної маси спостереження, а не зменшення самої історичної втрати вдвічі. Нормована вага — wⱼ/m, внесок у ES — (wⱼ/m)Lⱼ.

Перевірте три рівності: сума ненормованих ваг дорівнює m, сума нормованих ваг — 1, а сума внесків рядків — ES. Ваги не мають грошових чи відсоткових одиниць. Втрати й внески виражені в початковій відсотковій шкалі; внесок рядка — доданок ES, а не ще одна спостережувана дохідність. Внески виражені у відсоткових пунктах (в.п.) показника ES: 20/3 в.п. та 2 в.п. у прикладі разом дають ES 26/3%.

Ачербі й Таше пояснюють, чому в дискретних розподілах важлива обробка межі. Тут включається лише маса, потрібна для заповнення хвоста. Умовне середнє всіх рядків із L ≥ VaR може охоплювати зайву масу, зокрема однакові граничні втрати, і відрізнятися від ES. Частка хвоста α в позначеннях статті відповідає тут 1 − c.

За однакових втрат дробову вагу розподіляють за початковим порядком рядків. Це умовність обліку, яка не змінює ES, оскільки рівні значення дають однаковий результат. Перестановка спостережень може змінити виділений рядок серед однакових втрат, але не VaR чи ES. Збережіть ідентифікатори рядків, якщо потрібно пояснити розподіл ваги.

Візьмімо вигадані одноперіодні дохідності: 3, 2, 1, 0, −1, −2, −3, −4, −6, −10 відсотків. Це навчальні дані, а не ринкова історія. Установіть рівень 85. Тоді N = 10, c = 0,85, ранг квантиля за зростанням — ceil(8,5) = 9, а дев’ята втрата — 6%. Маса хвоста становить 10 × 0,15 = 1,5 спостереження.

Починаючи з найгіршої втрати, візьмемо спостереження 10% повністю та спостереження 6% наполовину. Зважена сума втрат — 1 × 10 + (1/2) × 6 = 13 у відсотковій шкалі. Ділимо на масу 1,5: ES = 13/1,5 = 26/3% ≈ 8,666666666666667%. Нормовані ваги дорівнюють 2/3 і 1/3; їхні внески — 20/3 та 2, разом 26/3.

Наївна умова L ≥ 6 включає обидва спостереження повністю, тому середнє дорівнює (10 + 6)/2 = 8%. Воно використовує два рядки за заданої маси хвоста 1,5. Різницю спричиняє визначення межі, а не округлення. Цей діагностичний показник виводиться окремо й не замінює ES.

За рівня 90% ранг ceil(10 × 0,9) = 9 і далі вибирає VaR 6%, проте маса хвоста вже рівно 1, а ES — 10%. За 95% потрібна лише половина найгіршого спостереження; ділення зваженої втрати на цю половину знову дає 10%. Це мала історична маса хвоста, а не свідчення високої точності оцінки.

Необов’язкова фіксована вартість V = 10000 USD переводить відсоткову втрату в суму: amount = V × lossPercent/100. У прикладі VaR дорівнює 600 USD, ES — 2600/3 USD ≈ 866,6666666666667 USD. Суми описують ті самі відсоткові спостереження на вибраній базі: це не баланс рахунку, маржа, гарантована межа чи додаткові втрати, які треба додати до відсотків.

Вставте по одному числу зі знаком у кожен рядок. Усередині числа дозволено крапку або кому як десятковий роздільник; жоден із них не розділяє спостереження. Не вставляйте заголовка, знака відсотка, експоненційного запису, роздільника тисяч чи списку через коми. Крайні пробіли видаляються, один кінцевий перенос рядка дозволено; внутрішній порожній рядок або зайвий порожній рядок наприкінці спричиняє помилку. Для від’ємного вводу використовуйте клавіатурний знак мінуса -.

Дозволено 1–1000 дохідностей від −1000000 до +1000000 відсотків, до шести десяткових знаків. Початковий рядок обмежений 64 символами, весь ряд — 65000. Довірчий рівень має бути строго між 0 та 100 відсотками, не більше шести десяткових знаків і 32 початкових символів. Це межі розміру вводу, а не підтвердження економічної коректності дохідності.

Значення нижче −100% не обрізаються. Для такого рядка потрібна відповідна база капіталу або експозиції: з’ясуйте зміст показника у джерела. Необов’язкова вартість приймає додатну суму до 1000000000000000, до шести десяткових знаків і 48 початкових символів. Залиште її порожньою для результатів лише у відсотках. Позначення одиниці містить 1–24 символи, починається літерою або цифрою; далі дозволено літери, цифри, комбіновані знаки, пробіл, крапку, підкреслення, скісну риску й дефіс.

Виберіть приклад або введіть свої дані, задайте рівень і натисніть «Розрахувати й перевірити». Перед читанням VaR та ES перевірте N, ранг квантиля й масу хвоста. Розгляньте графік упорядкованих втрат і повну таблицю; вибір рядка відкриває подробиці, не замінюючи обчислений набір. Зміна модельного вводу одразу приховує попередній результат і його вивантаження до нового розрахунку.

Межа й результат визначаються точними дробами. Округлене десяткове відображення позначено як наближене, і назад у модель воно не підставляється. Динамічний CSV належить останньому успішному розрахунку. Форма тримає ввід лише в пам’яті компонента, не надсилає його на сервер і не записує в постійне сховище; це не твердження про окрему аналітику всього сайту.

Без JavaScript доступні фіксований приклад, повна таблиця, CSV початкових даних, точний CSV прикладу та протокол перевірки. Інтерактивні елементи вимкнені. CSV початкових даних — статичний навчальний файл, а не обіцянка реалізованого імпорту CSV.

Почніть із десяти рядків прикладу, а вже потім змінюйте діапазон. Розмістіть відсоткові числа в B2:B11, початкові номери — в A2:A11. Залиште числовий формат: ввід 3 з подальшим застосуванням відсоткового формату покаже 300%, тобто іншу шкалу. У C2 введіть =-B2 і скопіюйте вниз, отримавши втрати. Перевірте, що всі десять потрібних клітинок числові й жодна не пропущена.

У K2 розмістіть 85. Формула =ROWS(B2:B11) у K3 задає N, а =K3*(1-K2/100) у K4 — m. У K5 формула =SMALL(C2:C11,ROUNDUP(K3*K2/100,0)) реалізує вибране тут правило VaR. Не замінюйте її інтерпольованим процентилем, очікуючи того самого визначення. У прикладі K3 = 10, K4 = 1,5, K5 = 6.

У D2 введіть =LARGE($C$2:$C$11,ROWS(D$2:D2)) і скопіюйте до D11: втрати розташуються за спаданням. Для ненормованих ваг у E2 введіть =MAX(0,MIN(1,$K$4-ROWS(D$2:D2)+1)) і скопіюйте вниз. У F2 задайте =E2/$K$4 для нормованої ваги, у G2 — =F2*D2 для внеску в ES. Обидві формули скопіюйте вниз. Для построкової звірки відсортуйте копію пар «втрата — початковий номер» за спаданням втрати, потім за зростанням номера. Стовпець LARGE перевіряє лише впорядковані значення й не зберігає ідентичності початкових рядків з однаковими втратами.

Перевірки: =SUM(E2:E11) дає 1,5, =SUM(F2:F11) дає 1, а =SUM(G2:G11) — числове значення 26/3. Останню суму помістіть у K6. Для порівняння =AVERAGEIF(C2:C11,">="&K5,C2:C11) дає умовне середнє 8. За фіксованої вартості 10000 формули =10000*K5/100 і =10000*K6/100 дають грошові показники.

Формули записано з англійськими назвами функцій та комами між аргументами. Ваша програма може потребувати перекладених назв, крапок із комою чи десяткових ком. Змінюючи синтаксис, зберігайте зміст клітинок. Стовпці дробів і точних значень CSV імпортуйте як текст, щоб програма не перетворила дріб на дату й не округлила довге число. Десяткова арифметика таблиці сама є наближенням; біля чутливої межі спочатку порівняйте точні ранг і масу з вивантаження.

Коли m < 1, хвіст заповнює лише частка єдиного найгіршого спостереження, тому ES дорівнює цій спостережуваній втраті. Додаткові десяткові знаки не додають історичної інформації. За N = 1 і VaR, і ES дорівнюють єдиній втраті для будь-якого дозволеного рівня. Розрахунок визначений, але вибірка містить одне спостереження, а не широкий набір тяжких наслідків.

Якщо всі спостереження прибуткові, втрати від’ємні, тож VaR чи ES також можуть бути від’ємними. Для дохідностей 1, 2 та 3 відсотки найгірша спостережувана втрата — −1%. За рівня 90% VaR = ES = −1%. Заміна цього результату нулем змінила б емпіричний розрахунок. Від’ємний знак не означає неможливості майбутніх втрат.

Історичний хвіст не містить подій, відсутніх у наданій вибірці. Зміна режиму, застарілі оцінки, пропуски, зміни витрат і неузгоджені експозиції можуть зробити зовні точне число погано відповідним до запитання. Подовження ряду змінює вибірку, але саме собою не усуває проблему зіставності й не гарантує, що наступна втрата буде в її межах.

Інструмент не оцінює інтервали невизначеності, не доводить незалежності спостережень, не перевіряє ймовірнісної моделі й не застосовує регуляторних правил капіталу. Він також не перетворює денні дохідності на показник багатоденного ризику. Записуйте ці обмеження, замість приписувати результату непідтверджений зміст.

Для звірки двох звітів недостатньо назви CVaR. Уточніть визначення, правило квантиля, обробку точкових мас та однакових значень, ваги й вибірку. Різні реалізації можуть використовувати одну назву за різних домовленостей. Тут точна маса найгіршого хвоста й окреме наївне умовне середнє роблять відмінність видимою.

Збережіть початкову послідовність, рівень, горизонт дохідностей, дати джерела, визначення дохідності та необов’язкову базову вартість. Вивантажте обчислений CSV разом із протоколом. Невідоме вкажіть прямо: наприклад, чи включає джерело витрати фінансування або чому немає певної дати. Невідоме припущення не має перетворюватися на заспокійливий висновок.

• Спочатку порівняйте N і кожну введену дохідність, включно зі знаком та відсотковим масштабом.
• Потім порівняйте ранг квантиля, рівень і повну масу хвоста, перш ніж зіставляти округлені результати.
• Перевірте, чи інший розрахунок включає всі однакові граничні рядки або інтерполює квантиль.
• Нарешті порівняйте витрати, горизонт, ваги й грошову базу: збігу чисел варто очікувати лише за однакових визначень.

Цей матеріал відповідає на інше запитання, ніж коефіцієнти Шарпа й Сортіно: вони співвідносять середню дохідність понад відповідний орієнтир — Rf для Шарпа та MAR для Сортіно — із заданою мінливістю або відхиленням нижче порога. Історичний ES — не максимальна просадка: сортування прибирає хронологічний шлях. Це також не оцінка ризику розорення, для якої потрібна окрема модель послідовності наслідків та умови розорення.

Корисна точка зупинки — простежуваний збіг або названа нерозв’язана відмінність. Якщо рядки, правило й точні ваги збігаються, повторний розрахунок незмінного вводу не додає доказів. Якщо ні, спочатку ізолюйте конкретну причину. Результат не рекомендує угоди, хеджування, кредитного плеча чи розміру позиції.

Expected Shortfall — це середня втрата вище VaR?

У скінченній вибірці не обов’язково. Тут усереднюється рівно найгірша маса N × (1 − c), із дробовим граничним рядком. Середнє всіх рядків із втратою ≥ VaR може охопити більше маси: за рівня 85% у прикладі воно становить 8%, а ES — 26/3%.

Чому за 90% VaR дорівнює 6%, а ES — 10%?

Для десяти спостережень вибрано ранг 9 у висхідному порядку, де втрата становить 6%. Маса хвоста — рівно одне спостереження, тому ES використовує лише найгіршу втрату 10%. Показники описують різні властивості однієї вибірки.

Чи можуть VaR та ES бути від’ємними?

Так. Прибуток стає від’ємною втратою, тому хвіст із прибутковими спостереженнями може залишатися від’ємним. Калькулятор не обрізає його до нуля. Такий історичний знак не гарантує відсутності збитку в наступному періоді.

Що відбувається за одного спостереження або маси хвоста менше одиниці?

ES визначається найгіршою спостережуваною втратою. За N = 1 вона визначає і VaR. Правильна арифметика не означає достатності історії для оцінювання рідкісних подій: малу масу хвоста показано явно.

Чи потрібно вводити фіксовану базову вартість?

Для відсоткових VaR та ES базова вартість не потрібна. Залиште необов’язкове поле порожнім — грошових результатів не буде. Форма все одно вимагає позначення одиниці, але воно підписує суми лише за заданої вартості. Додатна сума масштабує втрати на фіксовану базу, не конвертує валюти й не визначає баланс рахунку.

Чи відтворює інструмент регуляторний розрахунок Expected Shortfall?

Ні. Це рівнозважений історичний розрахунок за один період із явно заданими правилами емпіричного квантиля та дробового хвоста. У ньому немає регуляторних поправок на горизонт ліквідності, правил капіталу, калібрування сценаріїв чи прогнозної моделі.