Expected Shortfall: fórmula e cálculo do VaR e ES históricos

Um Expected Shortfall é útil quando você consegue reconstruir quais observações entraram na cauda. Este guia transforma uma série de retornos simples em perdas, ordena as observações e mostra o peso exato de cada linha incluída. O resultado é um registro reproduzível do cálculo, não uma previsão. Comece pelo exemplo fixo e depois substitua os dados por observações próprias comparáveis.

Cada retorno precisa descrever um período de mesma duração e seguir a mesma definição. Não misture dados diários e semanais, retornos de carteira e percentuais de operações individuais, nem percentuais calculados sobre bases de capital diferentes sem verificar a comparabilidade. Registre fonte, intervalo de datas, duração, horário de avaliação, custos e tratamento dos fluxos externos. O componente recebe números e não consegue verificar essas características por você.

A entrada já está em porcentagem: 3 significa 3%, −2 significa −2% e 0 indica ausência de mudança. Não é um campo de retorno decimal no qual 0,03 representa 3%. Se a fonte armazena retornos decimais, multiplique-os por 100 antes de colar e documente a conversão. Uma observação ausente continua sendo uma informação ausente: inventar um zero altera o tamanho da amostra e sua cauda.

Todas as observações têm a mesma probabilidade empírica 1/N. Não há maior peso para dados recentes, ajuste de distribuição, correção de volatilidade ou eventos extrapolados. Guarde o intervalo de datas separadamente: o número de linhas não demonstra que a história é representativa.

Defina Lᵢ = −rᵢ, em que rᵢ é o retorno percentual informado. Um retorno de −6% vira uma perda de +6%; um retorno de +3% vira uma perda de −3%. Perda positiva representa queda; perda negativa representa ganho. Esse sinal permanece na tabela, no gráfico e nos arquivos baixados.

N é o número de observações válidas e c é o nível de confiança como fração. Informar 85 no campo de confiança significa c = 0,85. Ordene as perdas da menor para a maior e selecione k = ceil(N × c), contando a partir de 1. Aqui, VaR_c = L_(k). A regra escolhe um valor observado sem interpolar entre perdas vizinhas. Aqui ceil arredonda para cima até um inteiro, sem alterar um número já inteiro.

A documentação oficial de quantis do R distingue nove algoritmos: type 1 é a inversa da distribuição empírica, enquanto o padrão é type 7. A regra da posição importa mais do que um nome de função em comum. Uma função de percentil com interpolação pode fornecer outro VaR porque usa uma convenção diferente.

O VaR indica uma posição na distribuição de perdas fornecida; não descreve a intensidade de todas as observações além desse ponto. Também não é a perda máxima possível. Em uma descontinuidade, a probabilidade empírica das perdas até o valor escolhido não precisa ser exatamente c. Mantenha confiança, posição e observação selecionada junto ao resultado.

Não há anualização. Retornos diários descrevem o horizonte observado de um dia; retornos mensais, o horizonte mensal. A conversão entre horizontes exige dados e premissas adicionais que este componente não introduz.

A pior cauda ocupa a massa empírica m = N × (1 − c), medida em equivalentes de observações. Ordene as perdas da maior para a menor, preservando o número original da linha. Dê peso 1 às floor(m) piores observações e, se necessário, atribua a fração restante à seguinte. As demais recebem peso zero. Quando m é inteiro, não entra uma observação extra na fronteira. A função floor arredonda para baixo até um inteiro.

Para a posição descendente j, o peso não normalizado é wⱼ = max(0, min(1, m − j + 1)). O Expected Shortfall é ES_c = Σ(wⱼLⱼ)/m. Um peso de 1/2 significa usar metade da massa empírica da observação, não reduzir pela metade a perda realmente ocorrida. O peso normalizado é wⱼ/m, e a contribuição para o ES é (wⱼ/m)Lⱼ.

Três igualdades permitem conferir a conta: os pesos não normalizados somam m; os normalizados somam 1; e as contribuições das linhas somam o ES. Os pesos não têm unidade monetária ou percentual. Perdas e contribuições mantêm a escala percentual informada; uma contribuição é uma parcela do ES, não outro retorno observado. As contribuições são pontos percentuais (p.p.) do ES apresentado: os 20/3 p.p. e 2 p.p. do exemplo formam um ES de 26/3%.

Acerbi e Tasche explicam por que distribuições discretas exigem cuidado com a fronteira. Aqui entra apenas a massa necessária para preencher a cauda. A média condicional de todas as linhas com L ≥ VaR pode incluir massa excedente, inclusive perdas empatadas na fronteira, e diferir do ES. A fração de cauda α do artigo corresponde aqui a 1 − c.

Em caso de perdas iguais, a ordem original das linhas decide qual delas recebe o peso fracionário. Essa escolha de registro não altera o ES, pois os valores empatados são iguais. Reordenar as mesmas observações pode mudar a linha destacada em um empate, mas não o VaR ou o ES. Preserve os identificadores se precisar explicar a alocação.

Use estes retornos fictícios de um período: 3, 2, 1, 0, −1, −2, −3, −4, −6, −10 por cento. São dados didáticos, não histórico de mercado. Defina a confiança como 85. Assim, N = 10, c = 0,85, a posição crescente do quantil é ceil(8,5) = 9 e a nona perda é 6%. A massa da cauda é 10 × 0,15 = 1,5 observação.

Começando pela pior perda, considere toda a observação de 10% e metade da observação de 6%. A soma ponderada é 1 × 10 + (1/2) × 6 = 13 na escala percentual. Divida pela massa 1,5: ES = 13/1,5 = 26/3% ≈ 8,666666666666667%. Os pesos normalizados são 2/3 e 1/3; as contribuições 20/3 e 2 somam 26/3.

A condição ingênua L ≥ 6 inclui ambas as observações inteiras e resulta em (10 + 6)/2 = 8%. Ela usa duas observações quando a cauda definida tem massa 1,5. A diferença vem da definição da fronteira, não de um erro de arredondamento. Esse diagnóstico aparece separadamente e não substitui o ES.

Com confiança de 90%, ceil(10 × 0,9) = 9 ainda seleciona VaR de 6%, mas a massa é exatamente 1 e o ES é 10%. A 95%, basta metade da pior observação; dividir a perda ponderada por essa metade volta a produzir 10%. É uma pequena cauda histórica, não uma evidência de que seu valor tenha sido estimado com grande precisão.

Um valor-base fixo opcional V = 10000 USD converte a perda percentual em valor monetário por amount = V × lossPercent/100. O VaR do exemplo é 600 USD e o ES é 2600/3 USD ≈ 866,6666666666667 USD. São as mesmas observações percentuais expressas na base escolhida, não saldos, margens exigidas, limites garantidos ou perdas adicionais a somar aos percentuais.

Cole um número com sinal por linha. Ponto ou vírgula podem ser usados como separador decimal dentro do valor; nenhum deles separa observações. Não cole cabeçalho, símbolo de porcentagem, notação exponencial, separador de milhares ou lista separada por vírgulas. Espaços nas pontas são removidos e uma quebra de linha final é permitida; uma linha vazia interna ou outra linha em branco no final gera erro. Para números negativos, use o sinal de menos - do teclado.

São aceitos 1–1000 retornos entre −1000000 e +1000000 por cento, com até seis casas decimais. Cada linha original pode ter até 64 caracteres e a série inteira até 65000. A confiança deve ficar estritamente entre 0 e 100 por cento, com até seis casas decimais e 32 caracteres de entrada. São limites de tamanho, não uma validação econômica de cada retorno.

Valores abaixo de −100% não são cortados. Eles precisam de uma base adequada de capital ou exposição: verifique o que a fonte realmente mediu. O valor-base opcional aceita quantias positivas até 1000000000000000, com seis casas decimais e até 48 caracteres de entrada. Deixe-o vazio para resultados apenas percentuais. A unidade contém 1–24 caracteres, começa por letra ou dígito e depois permite letras, dígitos, marcas combinantes, espaços, ponto, sublinhado, barra ou hífen.

Escolha um exemplo ou informe seus dados, defina a confiança e selecione “Calcular e conferir”. Confira N, posição do quantil e massa da cauda antes de interpretar VaR e ES. Examine o gráfico de perdas ordenadas e a tabela completa. A seleção de uma linha permite ver seus detalhes sem substituir os dados calculados. Alterar uma entrada do modelo oculta imediatamente o resultado antigo e seu download até o novo cálculo.

Frações exatas determinam a fronteira e o resultado. Decimais arredondados são identificados como aproximações e não voltam a alimentar o modelo. O CSV dinâmico pertence ao último cálculo válido. Os dados ficam na memória do componente: o formulário não os envia a um servidor nem os grava em armazenamento persistente. Essa afirmação não abrange a análise de acesso separada do site.

Sem JavaScript, continuam disponíveis o exemplo fixo, a tabela completa, o CSV de entrada, o CSV exato de referência e o protocolo de verificação. Os controles interativos ficam desativados. O CSV de entrada é um arquivo didático estático, não uma promessa de importação CSV implementada.

Comece pelas dez linhas do exemplo antes de trocar o intervalo. Coloque os números percentuais em B2:B11 e os números das linhas originais em A2:A11. Mantenha o formato numérico: digitar 3 e depois aplicar formato percentual mostraria 300%, outra escala. Digite =-B2 em C2 e copie para baixo para obter as perdas. Confira se as dez células previstas são numéricas e se nenhuma está ausente.

Digite 85 em K2. =ROWS(B2:B11) em K3 fornece N, e =K3*(1-K2/100) em K4 fornece m. Em K5, =SMALL(C2:C11,ROUNDUP(K3*K2/100,0)) implementa a convenção de VaR deste guia. Não troque a fórmula por um percentil interpolado esperando a mesma definição. No exemplo, K3 = 10, K4 = 1,5 e K5 = 6.

Em D2 digite =LARGE($C$2:$C$11,ROWS(D$2:D2)) e copie até D11 para ordenar as perdas da maior para a menor. Em E2, =MAX(0,MIN(1,$K$4-ROWS(D$2:D2)+1)) produz o peso não normalizado; copie para baixo. Em F2 use =E2/$K$4 para o peso normalizado e, em G2, =F2*D2 para a contribuição ao ES. Copie ambas as fórmulas para baixo. Para conferir cada linha, ordene juntos uma cópia das perdas e seus identificadores originais: perda decrescente e depois número original crescente. A coluna LARGE verifica apenas os valores ordenados e não preserva a identidade das linhas empatadas.

As conferências são =SUM(E2:E11), que resulta em 1,5; =SUM(F2:F11), que resulta em 1; e =SUM(G2:G11), que resulta numericamente em 26/3. Coloque a última soma em K6. Para comparação, =AVERAGEIF(C2:C11,">="&K5,C2:C11) dá a média condicional 8. Para base fixa de 10000, =10000*K5/100 e =10000*K6/100 fornecem os valores monetários.

As fórmulas usam nomes de funções em inglês e vírgulas entre argumentos. Sua planilha pode exigir nomes traduzidos, ponto e vírgula ou vírgula decimal. Preserve o significado das células ao adaptar a sintaxe. Importe como texto as colunas CSV de frações e valores exatos para evitar conversão em datas ou arredondamento. A aritmética decimal da planilha também é uma aproximação: perto de uma fronteira sensível, compare primeiro a posição e a massa exatas do arquivo baixado.

Quando m < 1, apenas uma fração da pior observação preenche a cauda; assim, o ES coincide com essa perda observada. Mais casas decimais não acrescentam informação histórica. Se N = 1, VaR e ES equivalem à única perda para qualquer confiança permitida. A conta é definida, mas uma observação não representa uma variedade ampla de resultados graves.

Se todas as observações forem ganhos, as perdas serão negativas e o VaR ou o ES também poderão ser negativos. Para retornos de 1, 2 e 3 por cento, a pior perda observada é −1%. Com confiança de 90%, VaR = ES = −1%. Substituir esse resultado por zero mudaria o cálculo empírico solicitado. O sinal negativo não prova que perdas futuras sejam impossíveis.

Uma cauda histórica não inclui acontecimentos ausentes da amostra. Mudanças de regime, avaliações desatualizadas, lacunas, alterações nos custos e exposições inconsistentes podem tornar pouco adequado um resultado aparentemente preciso. Uma série maior modifica a amostra, mas não garante comparabilidade nem que a próxima perda fique dentro de seu intervalo.

Esta ferramenta não estima intervalos de incerteza, não demonstra independência, não valida um modelo probabilístico nem aplica regras de capital regulatório. Também não transforma retornos diários em uma medida de risco de vários dias. Documente essas limitações em vez de atribuir uma interpretação sem respaldo ao resultado.

Um nome como CVaR não basta para conciliar dois relatórios. Peça a definição, a regra do quantil, o tratamento de massas pontuais e empates, os pesos e a amostra. Implementações diferentes podem usar o mesmo nome com convenções distintas. Aqui, a massa exata da pior cauda e a média condicional ingênua são mostradas separadamente para permitir a comparação.

Guarde sequência original, confiança, horizonte, datas da fonte, definição de retorno e eventual valor-base. Exporte o CSV calculado com o protocolo. Registre claramente o que continua desconhecido: por exemplo, se o retorno inclui financiamento ou por que uma data foi excluída. Uma premissa desconhecida não deve virar uma conclusão tranquilizadora.

• Compare primeiro N e cada retorno informado, incluindo sinal e escala percentual.
• Depois compare posição do quantil, confiança e massa completa da cauda, antes dos resultados arredondados.
• Confira se a outra conta inclui todos os empates na fronteira ou interpola um quantil.
• Por fim, compare custos, horizonte, pesos e base monetária; só definições coincidentes justificam esperar números iguais.

Este guia responde a uma pergunta diferente de Sharpe e Sortino, que relacionam o retorno médio acima de suas respectivas referências — Rf para Sharpe e MAR para Sortino — com uma variabilidade ou desvio abaixo de uma meta. O ES histórico não é drawdown máximo: ordenar os dados remove seu percurso temporal. Também não é uma estimativa de risco de ruína, que precisa de outro modelo de sequência de resultados e de uma condição de ruína.

O ponto útil de conclusão é uma concordância rastreável ou uma diferença pendente identificada. Se linhas, convenção e pesos exatos coincidirem, recalcular entradas iguais não acrescenta evidência. Caso contrário, isole primeiro a divergência específica. Nenhum resultado recomenda operação, hedge, alavancagem ou tamanho de posição.

Expected Shortfall é a perda média acima do VaR?

Não necessariamente em uma amostra finita. Aqui se calcula a média de exatamente a pior massa N × (1 − c), permitindo uma observação fracionária na fronteira. Todas as linhas com perda ≥ VaR podem abranger massa maior: no exemplo de 85%, dão 8%, enquanto o ES é 26/3%.

Por que, a 90%, o VaR é 6% e o ES é 10%?

Com dez observações, seleciona-se a posição crescente 9, cuja perda é 6%. A massa da cauda é exatamente uma observação, e o ES utiliza somente a pior perda, de 10%. São características diferentes da mesma amostra.

VaR ou ES podem ser negativos?

Sim. Ganhos viram perdas negativas, e uma cauda com ganhos pode conservar esse sinal. O cálculo não limita esses valores a zero. O sinal histórico não garante que o próximo período não possa ter perda.

O que acontece com uma observação ou uma massa de cauda menor que um?

A pior perda observada determina o ES; com N = 1, determina também o VaR. Um resultado aritmético válido não significa que existam dados suficientes para avaliar eventos raros. A pequena massa da cauda aparece explicitamente.

Preciso informar um valor-base fixo?

VaR e ES percentuais não exigem valor-base. Deixe o campo opcional vazio e não serão produzidos valores monetários. O formulário ainda exige uma unidade, mas ela identifica quantias apenas quando há um valor informado. Uma quantia positiva escala as perdas nessa base fixa; não converte moedas nem determina o saldo de uma conta.

Isto reproduz um cálculo regulatório de Expected Shortfall?

Não. É um cálculo histórico de um período, com pesos iguais e convenções explícitas de quantil empírico e fronteira fracionária. Não inclui ajustes regulatórios de horizonte de liquidez, regras de capital, calibração de cenários ou modelos de previsão.